Question

 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為矩形，側(cè)棱PA⊥底面   ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E為PD的中點．

   （Ⅰ）求直線AC與PB所成角的余弦值；

   （Ⅱ）在側(cè)面PAB內(nèi)找一點N，使NE⊥面PAC，并求出點N到AB和AP的距離．

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 解析：（Ⅰ）建立如圖所示的空間直角坐標系，

則A，B，C，D，P，E的坐標為A（0，0，0），

B （，0，0），C （，1，0） ，

D （0，1，0） ，P （0，0，2） ，E （0，，1）

從而

（4分）

設(shè)的夾角為θ，

則∴AC與PB所成角的余弦值為．

（Ⅱ）由于N點在側(cè)面PAB內(nèi)，故可設(shè)N點坐標為，

則，由NE⊥面PAC可得，

  ∴

即N點的坐標為（，0，1），

從而N點到AB和AP的距離分別為1，。    （12分）

評析：立體幾何中的位置關(guān)系的判定以及求值問題，空間向量是一個重要的工具，為此我們平時注意積累正棱錐、直棱錐、正棱柱以及直棱柱等模型，以備考試之用，特別是法向量的運用。