Question

一種設(shè)備的價(jià)值為a元，設(shè)備的維修和消耗費(fèi)用第一年為b元，以后每年增加b元，用t表示設(shè)備使用的年數(shù)，用y表示設(shè)備的年平均費(fèi)用，則y=設(shè)備年平均維修費(fèi)和消耗費(fèi)用+設(shè)備價(jià)值的年折舊．（注：年折舊=設(shè)備價(jià)值÷使用年數(shù)）
（Ⅰ） 寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ） 若a=450000元，b=1000元時(shí)，求這種設(shè)備的最佳使用年限（使年平均費(fèi)用最低的t）．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）根據(jù)條件結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)即可寫出y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；
（Ⅱ）利用基本不等式即可得到結(jié)論．

解答： 解：（I）設(shè)此設(shè)備使用了t年，由題意，設(shè)備維修、消耗費(fèi)用構(gòu)成以b為首項(xiàng)，b為公差的等差數(shù)列，
因此年平均維修、消耗費(fèi)用為

b+2b+…+tb

t

₌

b

2

（t+1），（元）
年平均價(jià)值費(fèi)用為

a

t

元，
于是有y=

b(t+1)

2

+

a

t

=

b

2

+

bt

2

+

a

t

，t＞0．
（II）若a=450000元，b=1000元時(shí)，
則y=500+500（t+

900

t

）≥500+500•2

t• 900 t

=500+30000=30500，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

900

t

，即t=30時(shí)，等號(hào)成立，即設(shè)備使用30年最佳．

點(diǎn)評：本題主要考查函數(shù)的應(yīng)用問題，解決此題的關(guān)鍵是建立數(shù)列模型，求出年平均費(fèi)用．