Question

已知函數(shù)，x∈[m，n]（m＜n）．
（1）用函數(shù)單調(diào)性的定義證明：函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增；
（2）f（x）的定義域和值域都是[m，n]，求常數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵[m，n]⊆（-∞，0）∪（0，+∞）∴m＜n＜0或0＜m＜n
對?x₁、x₂∈[m，n]，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，=-
∵m＜x₁＜x₂＜n，
∴x₁x₂＞0且x₂-x₁＞0，
∴f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增．
（2）∵f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇f（m），f（n）]
∴f（m）=m且f（n）=n，
∴f（x）=x有兩相異的同號根m、n
即 需，
∴或．
分析：（1）由?x₁、x₂∈[m，n]，當(dāng)x₁＜x₂時(shí)，＜0，證明函數(shù)f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增
（2）∵f（x）在[m，n]上單調(diào)遞增，∴f（x）在[m，n]上的值域?yàn)閇f（m），f（n）]，∴f（m）=m且f（n）=n∴f（x）=x有兩相異的同號根m、n，利用韋達(dá)定理列出所需不等式，即可解得a的取值范圍．
點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)單調(diào)性的定義及運(yùn)用，二次方程根的分布問題及解法，解題時(shí)要規(guī)范步驟，推理嚴(yán)密