Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左焦點為F₁（-c，0），C上存在一點P到橢圓左焦點的距離與到橢圓右準線的距離相等．
（Ⅰ）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）若已知橢圓的左焦點為（-1，0），右準線為x=4，圓x²+y²=

12

7

的切線與橢圓交于A、B兩點，求證：OA⊥OB（O為坐標原點）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設點P的坐標為P（x，y），根據(jù)C上存在一點P到橢圓左焦點的距離與到橢圓右準線的距離相等，可得方程

a2

c

-x=a+ex．利用x≤a，可建立不等關系，從而可求離心率e的取值范圍；
（Ⅱ）求求橢圓方程，再分斜率存在與不存在，利用直線方程與橢圓方程聯(lián)立，借助于韋達定理，從而得解．

解答：解：（Ⅰ）設點P的坐標為P（x，y），則|PF₁|=a+ex，P到右準線的距離為

a2

c

-x，
故

a2

c

-x=a+ex，…（2分）
化簡整理，得x=

a2(a-c)

c(a+c)

，而x≤a，
∴

a2(a-c)

c(a+c)

≤a，即e²+2e-1≥0，解得

2

-1≤e＜1．…（5分）
（Ⅱ）易求得橢圓的方程為C：

x2

4

+ 

y2

3

=1．…（7分）
設切線AB不垂直于x軸時，AB的方程為y=kx+m，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則原點到直線 AB的距離為m2=

12

7

(1+k2)．…（9分）
聯(lián)立方程

y=kx+m x2 4 + y2 3 =1

，
可得（3+4k²）x²+8kmx+4m²-12=0．…（10分）
∴

x1+x2=- 8km 3+4k2 x1x2= 4m2-12 3+4k2

∴

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=0．
即OA⊥OB．…（12分）
當AB垂直于x軸時，AB的方程為x=± 

12 7

，代入橢圓方程得y=±

12 7

．
易得：OA⊥OB．
綜上圓x²+y²=

12

7

的切線與橢圓交于A、B兩點，且總有OA⊥OB．…（14分）

點評：本題以橢圓為載體，考查直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的性質(zhì)，關鍵是直線方程與橢圓方程的聯(lián)立．