如圖，四棱錐P－ABCD的底面是正方形，PA⊥底面ABCD，PA＝2，∠PDA＝45°，點(diǎn)E、F分別為棱AB、PD的中點(diǎn)．

(Ⅰ)求證：AF∥平面PCE；

(Ⅱ)求證：平面PCE⊥平面PCD；

(Ⅲ)求三棱錐C－BEP的體積．

答案：
解析：

　　證明:(Ⅰ)取PC的中點(diǎn)G，連結(jié)FG、EG，

　　∴FG為△CDP的中位線，

　　∴FGCD，　　　　　1分

　　∵四邊形ABCD為矩形，E為AB的中點(diǎn)，

　　∴ABCD，

　　∴FGAE，

　　∴四邊形AEGF是平行四邊形，

　　∴AF∥EG，

　　又EG平面PCE，AF平面PCE，　　　　3分

　　∴AF∥平面PCE；　　　　　4分

　　(Ⅱ)∵PA⊥底面ABCD，

　　∴PA⊥AD，PA⊥CD，又AD⊥CD，PAAD＝A，

　　∴CD⊥平面ADP，

　　又AF平面ADP，∴CD⊥AF，　　　　6分

　　直角三角形PAD中，∠PDA＝45°，

　　∴△PAD為等腰直角三角形，

　　∴PA＝AD＝2，　　　　　7分

　　∵F是PD的中點(diǎn)，

　　∴AF⊥PD，又CDPD＝D，

　　∴AF⊥平面PCD，　　　　8分

　　∵AF∥EG，

　　∴EG⊥平面PCD，　　　　9分

　　又EG平面PCE，

　　平面PCE⊥平面PCD；　　　　　10分

　　(Ⅲ)三棱錐C－BEP即為三棱錐P－BCE，　　　　11分

　　PA是三棱錐P－BCE的高，

　　Rt△BCE中，BE＝1，BC＝2，

　　∴三棱錐C－BEP的體積

　　V三棱錐C－BEP＝V三棱錐P－BCE＝．　　　14分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，點(diǎn)E在線段AD上，CE∥AB．
（Ⅰ）求證：CE⊥平面PAD；
（Ⅱ）若PA=AB=1，AD=3，且CD與平面PAD所成的角為45°，求點(diǎn)D到平面PCE的距離．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是正方形，AC∩BD=O，PA⊥底面ABCD，OE⊥PC于E．
（1）求證：PC⊥平面BDE；
（2）設(shè)PA=AB=2，求二面角B-PC-D的大小．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥底面ABCD，且PA=AB=1，AD=
3
，點(diǎn)F是PB中點(diǎn)．
（Ⅰ）若E為BC中點(diǎn)，證明：EF∥平面PAC；
（Ⅱ）若E是BC邊上任一點(diǎn)，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
，求直線PA與平面PDE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PD⊥平面ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB和PC的中點(diǎn)．
（1）求證：EF∥平面PAD；
（2）若CD=2PD=2AD=2，四棱錐P-ABCD外接球的表面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
12
CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點(diǎn)．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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