Question

對于定義在區(qū)間D上的函數(shù)f（x），若任給x₀∈D，均有f（x₀）∈D，則稱函數(shù)f（x）在區(qū)間D上封閉．
（1）試判斷f（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上是否封閉，并說明理由；
（2）若函數(shù)g（x）=

2x+m

x+2

在區(qū)間[2，9]上封閉，求實數(shù)m的取值范圍；
（3）若函數(shù)h（x）=x³-3x在區(qū)間[a，b]（a，b∈Z）上封閉，求a，b的值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（1）根據(jù)f（x）在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，可得函數(shù)的值域為[-1，1]．由[-1，1]?[0，1]，可得結(jié)論．
（2）根據(jù)函數(shù)g（x）=

2x+m

x+2

在區(qū)間[2，9]上封閉，分類討論求得實數(shù)m的取值范圍．
（3）利用導數(shù)研究h（x）的單調(diào)性，分類討論，求得m的范圍．

解答： 解：（1）∵f（x）=2x-1在區(qū)間[0，1]上單調(diào)遞增，所以函數(shù)的值域為[-1，1]．
而[-1，1]?[0，1]，所以f（x）在區(qū)間[0，1]上不是封閉的．
（2）因為函數(shù)g（x）=

2x+m

x+2

在區(qū)間[2，9]上封閉，
①當m=4時，函數(shù)g（x）的值域為{2}⊆[2，9]，適合題意．
②當m＞4時，函數(shù)g（x）在區(qū)間[2，9]上單調(diào)遞減，g（x）的值域為[

18+m

11

，

4+m

4

]，
由為[

18+m

11

，

4+m

4

]⊆[2，9]，得

18+m 11 ≥2 4+m 4 ≤9

，解得4≤m≤32．
③當m＜4時，在區(qū)間[2，9]上有g(shù)（x）=

2x+m

x+2

=2+

m-4

x+2

＜2，顯然不合題意．
綜上所述，實數(shù)m的取值范圍是[4，32]．
（3）因為函數(shù)h（x）=x³-3x，所以h′（x）=3（x+1）（x-1），
所以h（x）在（-∞，-1）、（1，+∞）上遞增，在（-1，1）上遞減．
①當a＜b≤-1時，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
即

-2≤a≤-1 b≤-2

，顯然a、b無解．
②當a≤-1且-1＜b≤1時，h_min（x）=h（-1）=2＞b，不合題意．
③當a≤-1且b＞1時，因為h（-1）=2，h（1）=-2都在函數(shù)的值域內(nèi)，
∴a≤-2，b≥2．
又

h(a)≥a h(b)≤b

，即

a3≥4a b4≤4b

，解得：

-2≤a≤2 -2≤b≤2

，故有a=-2，b=2．
④當-1≤a＜b≤1時，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞減，則

h(b)≥a h(a)≤b

．
∵a、b∈z，經(jīng)驗證，均不合題意．
⑤當-1＜a≤1 且b＞1時，h_min（x）=h（1）=-2＜a，∴此情況不合題意．
⑥當b＞a≥1時，h（x）在區(qū)間[a，b]上遞增，所以

h(a)≥a h(b)≤b

，
此時無解．
綜上可得，所求的整數(shù)a、b的值為a=-2，b=2．

點評：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性的應用，新定義，其中，分類討論，是解題的關(guān)鍵和難點，屬于中檔題．