Question

(本小題滿分15分)如圖，已知拋物線上點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為3，直線交拋物線于兩點(diǎn)，且滿足。圓是以為圓心，為直徑的圓.

(1)求拋物線和圓的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)為圓上的任意一動(dòng)點(diǎn)，求當(dāng)動(dòng)點(diǎn)到直線的距離最大時(shí)的直線方程.

 

Answer 1

（1），；（2）.

【解析】

試題分析：（1）由題意得=，得，得到拋物線和圓的方程；

（2）設(shè)，聯(lián)立方程整理得，

由韋達(dá)定理得 ，進(jìn)一步

由得結(jié)合上式整理得，而得，

故直線過定點(diǎn).

而圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最大值再加上半徑長(zhǎng),求得，.

試題解析：（1）由題意得=，得 1分

所以拋物線和圓的方程分別為：； 2分

4分

（2）設(shè)

聯(lián)立方程整理得 6分

由韋達(dá)定理得 ① 7分

則

由得即

將①代入上式整理得 9分

由得

故直線AB過定點(diǎn) 11分

而圓上動(dòng)點(diǎn)到直線距離的最大值可以轉(zhuǎn)化為圓心到直線距離的最大值再加上半徑長(zhǎng)

由得 13分

此時(shí)的直線方程為，即 15分

考點(diǎn)：1.拋物線的幾何性質(zhì)；2.圓的方程；3.直線與 拋物線的位置關(guān)系.