Question

函數f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．記y=f（x）的最小值為a_n，則a₁+a₂+…+a₆=    ．

Answer 1

【答案】分析：當n=1時，f（x）=x+（1-x）=1，求出a₁=1，n≥2時，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，求導，令導數等于零，分析導數的符號，確定函數的最小值，求出a_n=，利用等比數列求和公式即可求得結果．
解答：解：n=1時，f（x）=x+（1-x）=1，
∴a₁=1
n≥2時，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，
f′（x）=nx^n-1-n（1-x）^n-1=n[x^n-1-（1-x）^n-1]=0
解得x=，
當x∈（0，），f′（x）＜0，函數f（x）在區(qū)間（0，）上是減函數，
當x∈（，1），f′（x）＞0，函數f（x）在區(qū)間（，1）上是增函數，
∴當x=時，函數f（x）的最小值為f（）=，
∴a₁+a₂+…+a₆=1+++…+=
故答案為：．
點評：本題考查函數的最值和等比數列求和問題，利用導數研究函數的單調性和極值，從而確定函數的最值，是解題的關鍵，屬中檔題．