Question

已知函數(shù)f（x）=

kx+1， x≤0 log2x， x＞0

下列是關(guān)于函數(shù)y=f[f（x）]+1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)的4個(gè)判斷：
①當(dāng)k＞0時(shí)，有3個(gè)零點(diǎn)；
②當(dāng)k＜0時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；
③當(dāng)k＞0時(shí)，有4個(gè)零點(diǎn)；
④當(dāng)k＜0時(shí)，有1個(gè)零點(diǎn)．
則正確的判斷是（　�。�

• A、①④
• B、②③
• C、①②
• D、③④

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)零點(diǎn)的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由y=0得f[f（x）]=-1，利用換元法將函數(shù)分解為f（x）=t和f（t）=-1，作出函數(shù)f（x）的圖象，利用數(shù)形結(jié)合即可得到結(jié)論．

解答： 解：由y=f[f（x）]+1=0得f[f（x）]+1=0，即f[f（x）]=-1，
設(shè)f（x）=t，則方程f[f（x）]=-1等價(jià)為f（t）=-1，
①若k＞0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵f（t）=-1，
∴此時(shí)方程f（t）=-1有兩個(gè)根其中t₂＜0，0＜t₁＜1，
由f（x）=t₂，＜0，知此時(shí)x有兩解，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此時(shí)x有兩解，
此時(shí)共有4個(gè)解，即函數(shù)y=f[f（x）]+1有4個(gè)零點(diǎn)．
②若k＜0，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
∵f（t）=-1，
∴此時(shí)方程f（t）=-1有一個(gè)根t₁，其中0＜t₁＜1，
由f（x）=t₁∈（0，1）知此時(shí)x只有1個(gè)解，
即函數(shù)y=f[f（x）]+1有1個(gè)零點(diǎn)．
綜上：只有③④正確，
故選：D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查分段函數(shù)，考查復(fù)合函數(shù)的零點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．