Question

已知f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0）有極大值5，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象如圖所示，則f（x）的解析式為

f（x）=2x³-9x²+12x

．

Answer 1

分析：由導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：1，2是導(dǎo)函數(shù)f^′（x）的零點(diǎn)，并且當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f （x）取得極大值，據(jù)此可求出答案．

解答：解：由f（x）=ax³+bx²+cx（a≠0），∴f^′（x）=3ax²+2bx+c．
由導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象可知：當(dāng)x＜1時(shí)，f^′（x）＞0；當(dāng)x=1時(shí)，f^′（1）=0；當(dāng)1＜x＜2時(shí)，f^′（x）＜0．
∴函數(shù)f（x）在x=1時(shí)取得極大值5，∴f（1）=5．
又由圖象可知，1，2是導(dǎo)函數(shù)f^′（x）的零點(diǎn)．
由上可得

f(1)=5 f′(1)=0 f′(2)=0

，即

a+b+c=5 3a+2b+c=0 12a+4b+c=0

解得

a=2 b=-9 c=12

．
∴f（x）=2x³-9x²+12x．
故答案為f（x）=2x³-9x²+12x．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的極值和導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)，理解函數(shù)滿(mǎn)足什么條件時(shí)取得極值和如何利用圖象是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．