Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+x-xlnx，
（1）若a=0，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）若f（1）=2，且在定義域內f（x）≥bx²+2x恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：綜合題,導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求導數(shù)，利用導數(shù)的正負，即可求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間；
（2）由已知，求得f（x）=x²+x-xlnx．將不等式f（x）≥bx²+2x恒成立轉化為b≤1-

1

x

-

lnx

x

恒成立．構造函數(shù)g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，只需b≤g（x）min即可，因此又需求g（x）min．

解答： 解：（1）當a=0時，f（x）=x-xlnx，函數(shù)定義域為（0，+∞）．
f'（x）=-lnx，由-lnx=0，得x=1．-------------（3分）
x∈（0，1）時，f'（x）＞0，f（x）在（0，1）上是增函數(shù)．x∈（1，+∞）時，f'（x）＜0，f（x）在（1，+∞）上是減函數(shù)；-------------（6分）
（2）由f（1）=2，得a+1=2，∴a=1，∴f（x）=x²+x-xlnx，
由f（x）≥bx²+2x，得（1-b）x-1≥lnx，
又∵x＞0，∴b≤1-

1

x

-

lnx

x

恒成立，-------------（9分）
令g(x)=1-

1

x

-

lnx

x

，可得g′(x)=

lnx

x2

，∴g（x）在（0，1]上遞減，在[1，+∞）上遞增．
∴g（x）_min=g（1）=0
即b≤0，即b的取值范圍是（-∞，0]．----------（12分）

點評：本題考查導數(shù)知識的應用，考查學生會利用導函數(shù)的正負確定函數(shù)的單調區(qū)間，掌握函數(shù)恒成立時所取的條件，是一道綜合題．