Question

【題目】（江蘇省南通市2018屆高三最后一卷 --- 備用題數(shù)學(xué)試題）已知函數(shù)，其中.

（1）當(dāng)時，求函數(shù)處的切線方程；

（2）若函數(shù)存在兩個極值點，求的取值范圍；

（3）若不等式對任意的實數(shù)恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) .

(2) .

(3) .

【解析】

（1）首先將代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出函數(shù)的切線的斜率，利用點斜式寫出直線的方程，化簡求得結(jié)果；

（2）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)存在兩個極值點，是方程的兩個不等正根，韋達定理得到關(guān)系，將化為關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，利用導(dǎo)數(shù)求得結(jié)果；

（3）將恒成立問題應(yīng)用導(dǎo)數(shù)來研究，分類討論，求得結(jié)果.

（1）當(dāng)時，，故，

且，故

所以函數(shù)在處的切線方程為

（2）由，可得

因為函數(shù)存在兩個極值點，所以是方程的兩個不等正根，

即的兩個不等正根為

所以，即

所以

令，故，在上單調(diào)遞增，

所以

故得取值范圍是

（3）據(jù)題意，對任意的實數(shù)恒成立，

即對任意的實數(shù)恒成立.

令，則

①若，當(dāng)時，，故符合題意；

②若，

（i）若，即，則，在上單調(diào)贈

所以當(dāng)時，，故符合題意；

（ii）若，即，令，得（舍去），

，當(dāng)時，，在上單調(diào)減；

當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，

所以存在，使得，與題意矛盾，

所以不符題意.

③若，令，得

當(dāng)時，，在上單調(diào)增；當(dāng)時，，

在上單調(diào)減.

首先證明：

要證：，即要證：，只要證：

因為，所以，故

所以

其次證明，當(dāng)時，對任意的都成立

令，則，故在上單調(diào)遞增，所以，則

所以當(dāng)時，對任意的都成立

所以當(dāng)時，

即，與題意矛盾，故不符題意，

綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.