Question

解答題：要求寫出文字說明、證明過程和演算步驟

已知橢圓C的方程為＋＝1，點P(，1)是橢圓內的定點，過點P的直線l與橢圓C交于A、B兩點，點Q為線段AB的中點，求

　　

(Ⅰ)點Q的軌跡方程；

(Ⅱ)點Q的軌跡與坐標軸的交點為頂點的多邊形的外接圓方程．

Answer 1

答案：
解析：

(1)設點A、B的坐標分別為A()，B()，點Q的坐標為Q(x，y)，當≠時，設直線L的斜率為K，則L的方程為y＝k(x－)＋1 由已知，＝1…………………① ＝k()＋1，＝k()＋1………② 由①得：＝0……③ 由②得：)－k＋2……………………④ 由③、④及， 得點Q的坐標滿足方程－x－y＝0………⑤ 當時，直線l平行y軸，因此AB的中點Q一定落在x軸上，即Q的坐標為(，0)，顯然點Q的坐標滿足方程⑤ 綜上所述，點Q的軌跡方程為－x－y＝0 (2)由解得上述軌跡即曲線l與y軸交于點(0，0)，(0，1) 由解得曲線L與x軸交于點(0，0)，(，0) 由三點(0，0)，(0，1)，(，0)為頂點的多邊形為直角三角形，其外接圓的圓心為斜邊的中點()， 半徑γ＝ ∴外接圓的方程為＋＝