【題目】已知,設(shè)函數(shù)
.
(1)討論單調(diào)性;
(2)若當時,
,求
的取值范圍.
【答案】(1)見解析;(2)
【解析】
(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù),然后根據(jù)
的不同取值,進行分類討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當時,
,且
時,
,于是
等價于
,顯然若
,
時,不等式
不成立;當若
,構(gòu)造新函數(shù)
,求導(dǎo),得
,函數(shù)
在
單調(diào)遞增,所以
,可以證明出當
時,
,當
時,可以通過找到零點,證明出
不恒大于零.
解:(1).
當時,
,當
時,
,當
時,
.所以
在
單調(diào)遞增;
在
單調(diào)遞減.
當時,由
得
或
,因為
,所以當
或
時,
,當
時,
.所以
在
,
單調(diào)遞增;
在
單調(diào)遞減.
(2)當時,
,且
時,
,于是
等價于
.
若,當
時,
不成立.
若,設(shè)
,
.
函數(shù)在
單調(diào)遞增,所以
.
當時,
,
在
單調(diào)遞增,所以
.
當時,因為
,
,所以存在唯一
,使得當
時,
,
在
單調(diào)遞減,
,
不成立.
綜上,的取值范圍為
.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】現(xiàn)代城市大多是棋盤式布局(如北京道路幾乎都是東西和南北走向).在這樣的城市中,我們說的兩點間的距離往往不是指兩點間的直線距離(位移),而是實際路程(如圖).在直角坐標平面內(nèi),我們定義,
兩點間的“直角距離”為:
.
(1)在平面直角坐標系中,寫出所有滿足到原點的“直角距離”為2的“格點”的坐標.(格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點)
(2)求到兩定點、
的“直角距離”和為定值
的動點軌跡方程,并在直角坐標系內(nèi)作出該動點的軌跡.(在以下三個條件中任選一個做答)
①,
,
;
②,
,
;
③,
,
.
(3)寫出同時滿足以下兩個條件的“格點”的坐標,并說明理由(格點指橫、縱坐標均為整數(shù)的點).
①到,
兩點“直角距離”相等;
②到,
兩點“直角距離”和最小.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知是圓
:
上任意一點,
,線段
的垂直平分線與半徑
交于點
,當點
在圓
上運動時,記點
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)記曲線與
軸交于
兩點,
是直線
上任意一點,直線
,
與曲線
的另一個交點分別為
,求證:直線
過定點
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知曲線的方程為
,集合
,若對于任意的
,都存在
,使得
成立,則稱曲線
為
曲線,下列方程所表示的曲線中,是
曲線的有______(寫出所有
曲線的序號)
①;②
;③
;④
;⑤
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某小學(xué)舉辦“父母養(yǎng)育我,我報父母恩”的活動,對六個年級(一年級到六年級的年級代碼分別為1,2…,6)的學(xué)生給父母洗腳的百分比y%進行了調(diào)查統(tǒng)計,繪制得到下面的散點圖.
(1)由散點圖看出,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系,請用相關(guān)系數(shù)加以說明;
(2)建立y關(guān)于x的回歸方程,并據(jù)此預(yù)計該校學(xué)生升入中學(xué)的第一年(年級代碼為7)給父母洗腳的百分比.
附注:參考數(shù)據(jù):
參考公式:相關(guān)系數(shù),若r>0.95,則y與x的線性相關(guān)程度相當高,可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系.回歸方程
中斜率與截距的最小二乘估計公式分別為
=
,
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像如圖所示,試做如下操作:把x軸上的區(qū)間
等分成n個小區(qū)間,在每一個小區(qū)間上作一個小矩形,使矩形的右端點落在函數(shù)
的圖像上.若用
表示第k個矩形的面積,
表示這n個叫矩形的面積總和.
(1)求的表達式;
(2)利用數(shù)學(xué)歸納法證明,并求出
的表達式
(3)求的值,并說明
的幾何意義.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓:
,其中
,點
是橢圓
的右頂點,射線
:
與橢圓
的交點為
.
(1)求點的坐標;
(2)設(shè)橢圓的長半軸、短半軸的長分別為
、
,當
的值在區(qū)間
中變化時,求
的取值范圍;
(3)在(2)的條件下,以為焦點,
為頂點且開口方向向左的拋物線過點
,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在平面直角坐標系中,對于點
,若函數(shù)
滿足:
,都有
,就稱這個函數(shù)是點
的“限定函數(shù)”.以下函數(shù):①
,②
,③
,④
,其中是原點
的“限定函數(shù)”的序號是______.已知點
在函數(shù)
的圖象上,若函數(shù)
是點
的“限定函數(shù)”,則
的取值范圍是______.
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