Question

從某小區(qū)抽取100戶居民進行月用電量調查，發(fā)現(xiàn)其用電量都在50度至350度之間，頻率分布直方圖如圖所示．

（1）根據(jù)直方圖求x的值，并估計該小區(qū)100戶居民的月均用電量（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值作代表）；
（2）從該小區(qū)已抽取的100戶居民中，隨機抽取月用電量超過250度的3戶，參加節(jié)約用電知識普及講座，其中恰有ξ戶月用電量超過300度，求ξ的分布列及期望．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,頻率分布直方圖,離散型隨機變量及其分布列

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（1）由已知得50×（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）=1，由此能求出x，由頻率分布直方圖能求出該小區(qū)100戶居民的月均用電量．
（2）由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應的概率，由此能求出ξ的分布列及期望．

解答： （1）解：由已知得50×（0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060）=1，
解得x=0.0044…（2分）
設該小區(qū)100戶居民的月均用電量為S，
則S=0.0024×50×75+0.0036×50×125+0.0060×50×175+0.0044×50×225+0.0024×50×275+0.0012×50×325=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186…（6分）
（2）該小區(qū)用電量在（250，300]的用戶數(shù)為0.0024×50×100=12，
用電量在（300，350]的用戶數(shù)為0.0012×50×100=6，
由已知得ξ的可能取值為0，1，2，3，
ξ=0時，p(ξ=0)=

C 3 12

C 3 18

=

55

204

，
ξ=1時，p(ξ=1)=

C 2 12 × C 1 6

C 3 18

=

33

68

，
ξ=2時，p(ξ=2)=

C 1 12 × C 2 6

C 3 18

=

15

68

，
ξ=3時，p(ξ=3)=

C 3 6

C 3 18

=

5

204

…（10分）
所以ξ的分布列是

ξ	0	1	2	3
p	55 204	33 68	15 68	5 204

E（ξ）=0×p（ξ=0）+1×p（ξ=1）+2×p（ξ=2）+3×p（ξ=3）=1．…（12分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．