Question

已知函數(shù)
（1）求函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若函數(shù)y=f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個(gè)交點(diǎn)，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)增，導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)減可得到答案．
（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)，根據(jù)圖象可得答案．
解答：解：（1）因?yàn)閒'（x）=x³+ax²-2a²x=x（x+2a）（x-a）
令f'（x）=0得x₁=-2a，x₂=0，x₃=a
由a＞0時(shí)，f'（x）在f'（x）=0根的左右的符號(hào)如下表所示

所以f（x）的遞增區(qū)間為（-2a，0）與（a，+∞）f（x）的遞減區(qū)間為（-∞，-2a）與（0，a）
（2）由（1）得到，
f（x）_極大值=f（0）=a⁴
要使f（x）的圖象與直線y=1恰有兩個(gè)交點(diǎn)，如圖示
或
故只要或a⁴＜1，
即或0＜a＜1．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)正負(fù)之間的關(guān)系，即當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)導(dǎo)函數(shù)小于0時(shí)原函數(shù)單調(diào)遞減．