已知數(shù)列{an}滿足a1=7,an+1=3an+2n-1-8n.(n∈N*)
(Ⅰ)李四同學(xué)欲求{an}的通項(xiàng)公式,他想,如能找到一個函數(shù)f(n)=A•2n-1+B•n+C(A、B、C是常數(shù)),把遞推關(guān)系變成an+1-f(n+1)=3[an-f(n)]后,就容易求出{an}的通項(xiàng)了.請問:他設(shè)想的f(n)存在嗎?{an}的通項(xiàng)公式是什么?
(Ⅱ)記Sn=a1+a2+a3+…+an,若不等式Sn-2n2>p×3n對任意n∈N*都成立,求實(shí)數(shù)p的取值范圍.
【答案】
分析:(Ⅰ)由題意a
n+1=3a
n+2
n-1-8n,要使函數(shù)f(n)=A•2
n-1+B•n+C(A、B、C是常數(shù)),把遞推關(guān)系變成a
n+1-f(n+1)=3[a
n-f(n)],可得f(n+1)-3f(n)=2
n-1-8n,從而求出A,B;
(Ⅱ)記S
n=a
1+a
2+a
3+…+a
n,因?yàn)椴坏仁絊
n-2n
2>p×3
n對任意n∈N
*都成立,可得S
n-2n
2=3
n-2
n+4n,得出p與n的關(guān)系式,然后利用歸納法進(jìn)行證明;
解答:解:(Ⅰ)∵a
n+1-f(n+1)=3[a
n-f(n)]
∴a
n+1=3a
n+f(n+1)-3f(n),
所以只需f(n+1)-3f(n)=2
n-1-8n,
∵f(n+1)-3f(n)=-A•2
n-1-2Bn+(B-2C),
∴-A=1,-2B=-8,B-2C=0,
∴A=-1,B=4,C=2.故李四設(shè)想的f(n)存在,f(n)=-2
n-1+4n+2.
∴a
n-f(n)=3
n-1[a
1-f(1)]=3
n-1(7-5)=2×3
n-1,
∴a
n=2×3
n-1+f(n)=2×3
n-1-2
n-1+2(2n+1).(5分)
(Ⅱ)S
n=2(1+3+3
2++3
n-1)-(1+2++2
n-1)+2[3+5++(2n+1)]=3
n-2
n+2n
2+4n.
∴S
n-2n
2=3
n-2
n+4n,(7分)
由S
n-2n
2>p×3
n,得
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.
設(shè)
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,則
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=
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,
當(dāng)n≥6時,2
n-2=(1+1)
n-2≥1+C
n-21+C
n-22++C
n-2n-3+C
n-2n-2
,
(用數(shù)學(xué)歸納法證也行)
∴n≥6時,b
n+1>b
n.容易驗(yàn)證,1≤n≤5時,b
n|+1<b
n,
∴p<(b
n)
min=
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,
∴p的取值范圍為
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.(13分)
點(diǎn)評:此題是數(shù)學(xué)與不等式的綜合,難度比較大,第一題根據(jù)(1)的思路進(jìn)行求解,不是很難,第二問難度比較大,計(jì)算量也比較大,利用歸納法進(jìn)行求解比較簡單;