Question

15．已知$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$，則二項式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中常數(shù)項為40．

Answer 1

分析 由定積分公式計算出a=2，求得（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通項公式，化簡整理，討論r=2，3即可得到所求常數(shù)項．

解答 解：$a=\int_1^{e^2}{\frac{1}{x}dx}$=lnx|${\;}_{1}^{{e}^{2}}$=lne²-ln1=2，
（ax-$\frac{1}{x}$）⁵的通項公式為T_r+1=${C}_{5}^{r}$（2x）^5-r（-$\frac{1}{x}$）^r=${C}_{5}^{r}$2^5-rx^5-2r（-1）^r，r=0，1，2，…，5
由題意可得5-2r=1，即r=2，可得T₃=${C}_{5}^{2}$2³x=80x，
當5-2r=-1，即r=3，可得T₄=${C}_{5}^{3}$2²x=-40x，
則二項式$（{x+\frac{1}{x}}）{（{ax-\frac{1}{x}}）^5}$的展開式中常數(shù)項為80-40=40．
故答案為：40．

點評 本題考查二項式定理的運用：主要是求特定項的系數(shù)，注意運用通項公式和分類討論的思想方法，考查運算能力，屬于中檔題．