Question

（本小題滿分12分）如圖，已知四棱錐，底面為菱形，⊥平面，，、分別是、的中點(diǎn)。
（Ⅰ）證明：⊥；
（Ⅱ）若為上的動(dòng)點(diǎn)，與平面所成最大角的正切值為，求二面角的余弦值。

Answer 1

.COM

（Ⅰ）證明：由四邊形為菱形，，
可得為正三角形。因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150055241206.gif" style="vertical-align:middle;" />為的中點(diǎn)，所以。 …………1分
又∥，因此�！�………………………………………………2分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150055350246.gif" style="vertical-align:middle;" />平面，平面，所以。 ………3分
而，所以平面。 ………………………………4分
又平面，所以。 ……………………………………5分
（Ⅱ）解：設(shè)，為上任意一點(diǎn)，連接、
由（Ⅰ）可知：平面，
則為與平面所成的角�！�…………………………………………6分
在中，，
所以當(dāng)最短時(shí)，最大， ………………………………………………7分
即當(dāng)時(shí)，最大，此時(shí)。           
因此。又，所以，于是。 ……………………8分
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823150054726229.gif" style="vertical-align:middle;" />⊥平面，平面，
所以平面平面。  …………………………………………9分
過(guò)作于，則由面面垂直的性質(zhì)定理可知：平面，
過(guò)作于，連接，
則由三垂線定理可知：為二面角的平面角。  ……………………10分
在中，，
又是的中點(diǎn)，在中，            
又  ………………………………11分
在中， 
即二面角的余弦值為。  ………………………………12分