Question

二項(xiàng)式（-x）¹⁰展開(kāi)中含有x的負(fù)指數(shù)冪項(xiàng)與正指數(shù)冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為（ ）
A．1
B．0
C．8065
D．-8065

Answer 1

【答案】分析：由二項(xiàng)式定理可得二項(xiàng)式（-x）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)，令x的系數(shù)為0，求出此時(shí)r的值，代入通項(xiàng)中可得其常數(shù)項(xiàng)的值，進(jìn)而在二項(xiàng)式（-x）¹⁰中，令x=1可得，其展開(kāi)式系數(shù)之和，又由在其展開(kāi)式中，含有x的負(fù)指數(shù)冪項(xiàng)與正指數(shù)冪的項(xiàng)的系數(shù)之和加上常數(shù)項(xiàng)即其二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和；計(jì)算可得答案．
解答：解：二項(xiàng)式（-x）¹⁰展開(kāi)式的通項(xiàng)為T(mén)_r+1=C₁₀^r（）^10-r（-x）^r=C₁₀^r（-1）^r 2^10-rx^2r-10；
令2r-10=0，可得r=5，
則其展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為T(mén)₆=-C₁₀⁵2⁵=-8064，
在二項(xiàng)式（-x）¹⁰中，令x=1可得，其展開(kāi)式系數(shù)之和為（2-1）¹⁰=1，
則其展開(kāi)式中含有x的負(fù)指數(shù)冪項(xiàng)與正指數(shù)冪的項(xiàng)的系數(shù)之和為1-（-8064）=8065；
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，注意在其展開(kāi)式中，含有x的負(fù)指數(shù)冪項(xiàng)與正指數(shù)冪的項(xiàng)的系數(shù)之和加上常數(shù)項(xiàng)即其二項(xiàng)展開(kāi)式的系數(shù)之和．