Question

【題目】

已知?jiǎng)訄A恒過(guò)且與直線相切，動(dòng)圓圓心的軌跡記為；直線與軸的交點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)且斜率為的直線與軌跡有兩個(gè)不同的公共點(diǎn)， ， 為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求動(dòng)圓圓心的軌跡的方程，并求直線的斜率的取值范圍；

（2）點(diǎn)是軌跡上異于， 的任意一點(diǎn)，直線， 分別與過(guò)且垂直于軸的直線交于， ，證明： 為定值，并求出該定值；

（3）對(duì)于（2）給出一般結(jié)論：若點(diǎn)，直線，其它條件不變，求的值（可以直接寫出結(jié)果）.

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】試題分析：根據(jù)拋物線的定義可知圓心的軌跡為拋物線，求出拋物線的方程，聯(lián)立直線和拋物線方程，設(shè)而不求，代入得出關(guān)于的一元二次方程，利用跟與系數(shù)關(guān)系得出和，根據(jù)直線與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，求出的范圍；寫出方程，解出坐標(biāo)，表示，化簡(jiǎn)出結(jié)論.

試題解析：

（1）由動(dòng)圓恒過(guò)且與直線相切得，點(diǎn)到與到直線距離相等，所以圓心的軌跡的方程為：

聯(lián)立得， ，

當(dāng)時(shí)，一次方程只有一個(gè)根，所以不成立.

所以 解得

總之，直線的斜率的取值范圍為

（2）設(shè)， ， ，

直線： ，即：

其與的交點(diǎn)，

同理與的交點(diǎn)

所以

由（1）中的得， 代入上式得

故

（3）略證：不作要求只給結(jié)論分.

（聯(lián)立得， 所以，得

p>直線： ，即：

，

所以 ，