Question

如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，設(shè)橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），其中b=

3

2

a，過橢圓E內(nèi)一點(diǎn)P（1，1）的兩條直線分別與橢圓交于點(diǎn)A，C和B，D，且滿足

AP

=λ

PC

，

BP

=λ

PD

，其中λ為正常數(shù)．當(dāng)點(diǎn)C恰為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，對(duì)應(yīng)的λ=

5

7

．
（1）求橢圓E的離心率；
（2）求a與b的值；
（3）當(dāng)λ變化時(shí)，k_AB是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由b=

3

2

a，得到

1

4

a2=c2，由此能求出離心率．
（2）求出A(

12-5a

7

，

12

7

)，代入到橢圓方程中，能求出a=2，b=

3

．
（3）法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由

AP

=λ

PC

，得

x3= 1-x1 λ +1 y3= 1-y1 λ +1

，推導(dǎo)出3x₁+4y₁=3x₂+4y₂，由此能求出kAB=-

3

4

為定值．
（3）法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），由點(diǎn)差法求出3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）k_AB=0，3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_CD=0，由此推導(dǎo)出kAB=-

3

4

為定值．

解答： （本小題滿分16分）
解：（1）因?yàn)?span id="v95jjfv" class="MathJye">b=

3

2

a，
所以b2=

3

4

a2，整理得a2-c2=

3

4

a2，即

1

4

a2=c2，
所以離心率e=

c

a

=

1

2

．…（4分）
（2）因?yàn)镃（a，0），λ=

5

7

，
所以由

AP

=λ

PC

，得A(

12-5a

7

，

12

7

)，…（7分）
將它代入到橢圓方程中，
得

(12-5a)2

49a2

+

122

49× 3 4 a2

=1，解得a=2，
所以a=2，b=

3

．…（10分）
（3）解法一：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x3= 1-x1 λ +1 y3= 1-y1 λ +1

，…（12分）
又橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1，
所以由

x12

4

+

y12

3

=1，

x32

4

+

y32

3

=1，
得3x12+4y12=12①，且3(

1-x1

λ

+1)2+4(

1-y1

λ

+1)2=12②，
由②得，

1

λ2

[3(1-x1)2+4(1-y1)2]+

2

λ2

[3(1-x1)+4(1-y1)]=5，
即

1

λ2

[(3x12+4y12)+7-2(3x1+4y1)]+

2

λ2

[7-(3x1+4y1)]=5，
結(jié)合①，得3x1+4y1=

19+14λ-5λ2

2λ+2

，…（14分）
同理，有3x2+4y2=

19+14λ-5λ2

2λ+2

，
所以3x₁+4y₁=3x₂+4y₂，
從而

y1-y2

x1-x2

=-

3

4

，即kAB=-

3

4

為定值．…（16分）
（3）解法二：設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），C（x₃，y₃），D（x₄，y₄），
由

AP

=λ

PC

，得

x1+λx3=1+λ y1+λy3=1+λ

，
同理

x2+λx4=1+λ y2+λy4=1+λ

，…（12分）
將A，B坐標(biāo)代入橢圓方程得

3x12+4y12=12 3x22+4y22=12

，
兩式相減得3（x₁+x₂）（x₁-x₂）+4（y₁+y₂）（y₁-y₂）=0，
即3（x₁+x₂）+4（y₁+y₂）k_AB=0，…（14分）
同理，3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_CD=0，
而k_AB=k_CD，所以3（x₃+x₄）+4（y₃+y₄）k_AB=0，
所以3λ（x₃+x₄）+4λ（y₃+y₄）k_AB=0，
所以3（x₁+λx₃+x₂+λx₄）+4（y₁+λy₃+y₂+λy₄）k_AB=0，
即6（1+λ）+8（1+λ）k=0，所以kAB=-

3

4

為定值．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的離心率的求法，考查橢圓方程的求法，考查直線的斜率是否為定值的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意點(diǎn)差法的合理運(yùn)用．