如圖，在四棱錐中，底面是正方形，側(cè)棱⊥底面 ，，是的中點(diǎn)，作交于點(diǎn)．

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值．

 

 

（1）證明過程詳見解析；（2）.

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線面平行、二面角等基礎(chǔ)知識(shí)，考查學(xué)生的空間想象能力、邏輯推理能力、計(jì)算能力、轉(zhuǎn)化能力.第一問，利用向量法證明平面，利用已知的垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，寫出點(diǎn)A，P，B坐標(biāo)，計(jì)算出向量和坐標(biāo)，由于說明，再利用線面平行的判定平面；第二問，利用向量垂直的充要條件證明，而，則利用線面垂直的判定得平面EFD，所以平面EFD的一個(gè)法向量為，再利用法向量的計(jì)算公式求出平面DEB的法向量，最后利用夾角公式求二面角的正弦值.

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè). ……..…1分

（1）證明：連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié).依題意得.

因?yàn)榈酌?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719405917158532/SYS201411171941173597539017_DA/SYS201411171941173597539017_DA.022.png">是正方形，所以點(diǎn)是此正方形的中心，

故點(diǎn)的坐標(biāo)為，且.

所以,即,而平面,且平面,

因此平面． ……5分

（2）,又,故,所以.

由已知，且,所以平面. ………7分

所以平面的一個(gè)法向量為.,

不妨設(shè)平面的法向量為

則

不妨取則，即 …10分

設(shè)求二面角的平面角為

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2014111719405917158532/SYS201411171941173597539017_DA/SYS201411171941173597539017_DA.053.png">，所以．

二面角的正弦值大小為． ………12分

考點(diǎn)：線線平行、線面平行、二面角.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年陜西省等五校高三第三次模擬文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：解答題

（本小題滿分12分）如圖，三棱柱中，側(cè)棱平面，為等腰直角三角形，，且分別是的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求證：平面；

（3）設(shè)，求三棱錐的體積.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知向量與不共線，且，若三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)滿足的條件是（ ）

Ａ. Ｂ. Ｃ. Ｄ.

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知點(diǎn)F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，A、B是以O(shè)（O

為坐標(biāo)原點(diǎn)）為圓心、|OF1|為半徑的圓與該橢圓左半部分的兩個(gè)交點(diǎn)，且△F2AB是正三角形，則此橢圓的離心率為（ ）

A． B． C． D．

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年陜西省高考第七次適應(yīng)性訓(xùn)練文科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：選擇題

已知方程y＝bx＋a是兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x10，y10)的回歸方程，則“，”是“(x0，y0)滿足線性回歸方程y＝bx＋a”的(　　)

A．充分不必要條件 B．必要不充分條件

C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

 

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2013-2014學(xué)年陜西省高三下學(xué)期第八次適應(yīng)性訓(xùn)練理科數(shù)學(xué)試卷（解析版） 題型：填空題

若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是： ；

 

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設(shè)雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)為，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為,如果直線與該雙曲線的一條漸近線垂直，那么此雙曲線的離心率為( )

（A） （B） （C） （D）

 

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若，則的值是__ ___．

 

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如圖：兩圓相交于點(diǎn)、，直線與分別與兩圓交于點(diǎn)、和、，，則 .

 

 

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