Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，滿足S_n=

3

2

a_n-n．
（Ⅰ）求證：數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）令b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1），則對任意n∈N^*，是否存在正整數m，使

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

4

都成立？若存在，求出m的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：等差數列與等比數列

分析：（Ⅰ）根據條件結合等比數列的定義，利用構造法即可證明數列{a_n+1}是等比數列；
（Ⅱ）利用裂項法求出b_n，然后利用數列和不等式之間的大小關系即可得到結論．

解答： 解：（Ⅰ）當n=1，a₁=S₁=

3

2

a₁-1，即a₁=2，
當n≥2時，由S_n=

3

2

a_n-n．得S_n-1=

3

2

a_n-1-n+1．
兩式相減得S_n-S_n-1=

3

2

a_n-

3

2

a_n-1-1=a_n-1．
即a_n=3a_n-1+2，
則a_n+1=3（a_n-1+1），
即數列{a_n+1}是公比q=3的等比數列，首項為a₁+1=3．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n+1=3•3^n-1=3ⁿ，
則log₃（a_n+1）=log₃3ⁿ=n，
即b_n=log₃（a₁+1）+log₃（a₂+1）+…+log₃（a_n+1）=1+2+…+n=

n(n+1)

2

，
則

1

bn

=

2

n(n+1)

=2（

1

n

-

1

n+1

），
則

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…

1

n

-

1

n+1

）=2（1-

1

n+1

），
若

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

≥

m

4

都成立，
則2（1-

1

n+1

）≥

m

4

都成立，
即m≤8（1-

1

n+1

）對任意正整數n都成立．
∵1-

1

n+1

≥1-

1

2

=

1

2

，
∴m≤4，
即m=1，2，3，4．

點評：本題主要考查等比數列的通項公式，利用裂項法求前n項和的應用，考查數列與不等式的應用，綜合性較強，運算量較大．