Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1=2a_n（n∈N^*，n≥2），且a₃=7，a₅+a₇=26，{a_n}的前n項和為S_n．
（1）求a_n及S_n；
（2）令b_n=

1

an2-1

（n∈N^*），數(shù)列{b_n}的前n項和T_n，求證T_n＜

1

4

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式,數(shù)列與不等式的綜合

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接由數(shù)列遞推式得到數(shù)列為等差數(shù)列，然后由已知列方程組求出首項和公差，代入等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式得答案；
（2）把數(shù)列的通項公式代入b_n=

1

an2-1

，利用裂項相消法求和，再放縮得答案．

解答： （1）解：由數(shù)列{a_n}滿足a_n+1+a_n-1=2a_n，可知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a₃=7，a₅+a₇=26，
∴

a1+2d=7 2a1+10d=26

，解得

a1=3 d=2

．
∴a_n=3+2（n-1）=2n+1．
Sn=3n+

n(n-1)

2

×2=n2+2n；
（2）證明：由（1）知a_n=2n+1．
∴b_n=

1

an2-1

=

1

(2n+1)2-1

=

1

4

•

1

n(n+1)

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)．
∴Tn=

1

4

(1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

)=

1

4

(1-

1

n+1

)．
當(dāng)n→∞時，

1

n+1

→0．
故T_n＜

1

4

．

點評：本題考查了由等差中項的概念確定數(shù)列為等差數(shù)列，考查了等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式，考查了裂項相消法求數(shù)列的和，訓(xùn)練了放縮法證明數(shù)列不等式，是中檔題．