如圖(1)，四邊形ABCD中，E是BC的中點(diǎn)，DB＝2，DC＝1，BC＝，AB＝AD＝.將圖(1)沿直線BD折起，使得二面角A­BD­C為60°，如圖(2)．

(1)求證：AE⊥平面BDC；

(2)求直線AC與平面ABD所成角的余弦值．

 

【答案】

(1)見(jiàn)解析   (2)

【解析】解：(1)證明：取BD的中點(diǎn)F，連接EF，AF，

則AF＝1，EF＝，∠AFE＝60°.

由余弦定理知

AE＝＝.

∵AE2＋EF2＝AF2，∴AE⊥EF.

∵AB＝AD，F(xiàn)為BD中點(diǎn)．∴BD⊥AF.

又BD＝2，DC＝1，BC＝，

∴BD2＋DC2＝BC2，

即BD⊥CD.

又E為BC中點(diǎn)，EF∥CD，∴BD⊥EF.

又EF∩AF＝F，

∴BD⊥平面AEF.又BD⊥AE，

∵BD∩EF＝F，

∴AE⊥平面BDC.

(2)以E為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A，

C，

B，

D，＝(2,0,0)，

＝，＝.

設(shè)平面ABD的法向量為n＝(x，y，z)，

由得

取z＝，

則y＝－3，又∵n＝(0，－3，)．

∴cos〈n，〉＝＝－.

故直線AC與平面ABD所成角的余弦值為.

 

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)（1）如圖，平行四邊形ABCD中，M、N分別為DC、BC的中點(diǎn)，已知
AM
=
c
、
AN
=
d
，試用
c
、
d
表示
AB
和
AD
．
（2）在△ABC中，若
AB
=
a
，
AC
=
b
若P，Q，S為線段BC的四等分點(diǎn)，試證：
AP
+
AQ
+
AS
=
3
2
(
a
+
b
)；

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2
（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面．
（2）設(shè)EG與HF交于點(diǎn)P，求證：P、A、C三點(diǎn)共線．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖1所示，已知OPQ是半徑為1，圓心角為θ的扇形，A是扇形弧PQ上的動(dòng)點(diǎn)，AB∥OQ，OP與AB交于點(diǎn)B，AC∥OP，OQ與AC交于點(diǎn)C．記∠AOP=α．
（1）若θ=
π
2
，如圖1，當(dāng)角α取何值時(shí)，能使矩形ABOC的面積最大；
（2）若θ=
π
3
，如圖2，當(dāng)角α取何值時(shí)，能使平行四邊形ABOC的面積最大．并求出最大面積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，平行四邊形ABCD中，
AB
=
a
，
AD
=
b
，
CE
=
1
3
CB
，
CF
=
2
3
CD
．
（1）用
a
，
b
表示
EF
；
（2）若|
a
|=1，|
b
|=4，∠DAB=60°，分別求|
EF
|和
AC
•
FE
的值．

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