Question

若函數f（x）=的值域為[-1，5]，求實數a、c．

Answer 1

解：由y=f（x）=，得x²y-ax+cy-1=0．
當y=0時，ax=-1，∴a≠0．
當y≠0時，∵x∈R，∴△=a²-4y（cy-1）≥0．
∴4cy²-4y-a²≤0．∵-1≤y≤5，
∴-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的兩根．
∴∴
故a=±，c=
分析：令y=，將其變?yōu)閤²y-ax+cy-1=0，此方程一定有根，當y=0時，滿足方程有根，當當y≠0時，必有△≥0，由此得到關于y的不等式，再根據不等式的解集與對應方程的根的關系，知-1、5是方程4cy²-4y-a²=0的兩根，故可得關于參數a，c的方程，解方程求值即可．
點評：本題是判別式法求值域的變形運用，其特點是變形得到關于函數值的不等式，再由不等式的解集端點與相應方程式根的關系建立參數方程求參數，判斷別式法求值域是應用較少的一個技巧，運用時易忘掉二次項為0時的討論，用此法作題時應注意．求f（x）=（a₁²+a₂²≠0）的值域時，常利用函數的定義域非空這一隱含的條件，將函數轉化為方程，利用△≥0轉化為關于函數值的不等式．求解時，要注意二次項系數為字母時要討論．