【題目】如圖,在三棱錐P-ABC中,AC⊥BC,且,AC=BC=2,D,E分別為AB,PB中點(diǎn),PD⊥平面ABC,PD=3.
(1)求直線CE與直線PA夾角的余弦值;
(2)求直線PC與平面DEC夾角的正弦值.
【答案】(1);(2)
.
【解析】
(1)建立空間直角坐標(biāo)系,確定各點(diǎn)坐標(biāo),求出夾角,即可得結(jié)果;
(2)求出平面DEC的法向量,其與法向量夾角的余弦的絕對(duì)值,即為所求角的正弦值.
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,易知C(0,0,0),
A(2,0,0),D(1,1,0),E(,
,
),P(1,1,3),
設(shè)直線CE與直線PA夾角為,則
整理得;
直線CE與直線PA夾角的余弦值
;
(2)設(shè)直線PC與平面DEC夾角為,
設(shè)平面DEC的法向量為,
因?yàn)?/span>,
所以有
取,解得
,
,
即面DEC的一個(gè)法向量為,
,
.
直線PC與平面DEC夾角的正弦值為
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)時(shí),求不等式
的解集;
(2)若,且對(duì)任意
,
恒成立,求
的最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
(2)設(shè),若對(duì)任意
、
,且
,都有
,求實(shí)數(shù)
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,已知平行于
軸的動(dòng)直線
交拋物線
:
于點(diǎn)
,點(diǎn)
為
的焦點(diǎn).圓心不在
軸上的圓
與直線
,
,
軸都相切,設(shè)
的軌跡為曲線
.
(1)求曲線的方程;
(2)若直線與曲線
相切于點(diǎn)
,過(guò)
且垂直于
的直線為
,直線
,
分別與
軸相交于點(diǎn)
,
.當(dāng)線段
的長(zhǎng)度最小時(shí),求
的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,定義為兩點(diǎn)
,
之間的“折線距離”.則下列命題中:
①若點(diǎn)在線段
上,則有
②若點(diǎn),
,
是三角形的三個(gè)頂點(diǎn),則有
.
③到兩點(diǎn)的“折線距離”相等的點(diǎn)的軌跡是直線
.
④若為坐標(biāo)原點(diǎn),
在直線
上,則
的最小值為
.
真命題的個(gè)數(shù)為( )
A.1B.2C.3D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】為慶祝新中國(guó)成立七十周年,巴蜀中學(xué)將舉行“歌唱祖國(guó),喜迎國(guó)慶”歌詠比賽活動(dòng),《歌唱祖國(guó)》,《精忠報(bào)國(guó)》,《我和我的祖國(guó)》等一系列歌曲深受同學(xué)們的青睞,高二某班級(jí)就該班是否選擇《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目進(jìn)行投票表決,投票情況如下表.
小組 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
贊成人數(shù) | 4 | 5 | 6 | 6 | 5 | 6 | 4 | 3 |
總?cè)藬?shù) | 7 | 7 | 8 | 8 | 7 | 7 | 6 | 6 |
(1)若從第1小組和第8小組的同學(xué)中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查,求所選取的4人中至少有2人贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的概率;
(2)若從第5小組和第7小組的同學(xué)中各隨機(jī)選取2人進(jìn)行調(diào)查,記選取的4人中不贊成《精忠報(bào)國(guó)》作為本班參賽曲目的人數(shù)為,求隨機(jī)變量
的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知函數(shù)滿足
,且當(dāng)
時(shí),
成立,若
,
,
,則a,b,c的大小關(guān)系是()
A. aB.
C.
D. c
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知拋物線的焦點(diǎn)曲線
的一個(gè)焦點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn),點(diǎn)
為拋物線
上任意一點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
作
軸的平行線交拋物線的準(zhǔn)線于
,直線
交拋物線于點(diǎn)
.
(Ⅰ)求拋物線的方程;
(Ⅱ)求證:直線過(guò)定點(diǎn)
,并求出此定點(diǎn)的坐標(biāo).
【答案】(I);(II)證明見(jiàn)解析.
【解析】試題分析:(Ⅰ)將曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程,可求得
的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,可得
,所以
,即拋物線的方程為
;(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ),可設(shè)
,得
,從而直線
的方程為
,聯(lián)立直線與拋物線方程得
,解得
,直線
的方程為
,整理得
的方程為
,此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)
.
試題解析:(Ⅰ)由曲線,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得
, 所以曲線
是焦點(diǎn)在
軸上的雙曲線,其中
,故
,
的焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為
,因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為
,由題意知
,所以
,即拋物線的方程為
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知拋物線的準(zhǔn)線方程為
,設(shè)
,顯然
.故
,從而直線
的方程為
,聯(lián)立直線與拋物線方程得
,解得
①當(dāng),即
時(shí),直線
的方程為
,
②當(dāng),即
時(shí),直線
的方程為
,整理得
的方程為
,此時(shí)直線恒過(guò)定點(diǎn)
,
也在直線
的方程為
上,故直線
的方程恒過(guò)定點(diǎn)
.
【題型】解答題
【結(jié)束】
21
【題目】已知函數(shù),
(Ⅰ)當(dāng)時(shí),求函數(shù)
的單調(diào)遞減區(qū)間;
(Ⅱ)若時(shí),關(guān)于
的不等式
恒成立,求實(shí)數(shù)
的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列滿足
,
,記
的前
項(xiàng)和為
,求證:
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】第24屆國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)會(huì)標(biāo)是以我國(guó)古代數(shù)學(xué)家趙爽的弦圖為基礎(chǔ)進(jìn)行設(shè)計(jì)的.如圖所示,會(huì)標(biāo)是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.如果小正方形的面積為1,大正方形的面積為25,直角三角形中較小的銳角為,那么
_____________.
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