Question

已知函數(shù)．
（I）當(dāng)x∈[0，3]時(shí)，求f（x）的值域；
（II）對(duì)于任意x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

解：（I）
∴函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇0，1]．
（II）設(shè)x∈[0，3]時(shí)，函數(shù)的值域?yàn)锳，∵對(duì)于任意x₁∈[0，3]，
總存在x₁∈[0，3]，使f（x₀）=，∴[0，1]⊆A∵g'（x）=ax²-a²=a（x²-a）
（1）當(dāng)a＜0時(shí)，x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0∴不滿足[0，1]⊆A
（2）當(dāng)a＞0時(shí)，，
令g'（x）=0，∴或（舍去）
①當(dāng)＜3，即0＜a＜9時(shí)，如列表

∵，若[0，1]⊆A，
則∴1≤a≤2
②當(dāng)≥3，即a≥9時(shí)，x∈（0，3）時(shí)，g'（x）＜0，函數(shù)g（x）在（0，3）上單調(diào)遞減
∴g（3）≤g（x）≤g（0）∵g（0）=0，∴不滿足[0，1]⊆A
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是1≤a≤2．
分析：（I）對(duì)函數(shù)f（x）求導(dǎo)，令導(dǎo)數(shù)f′（x）=0，求得函數(shù)f（x）的極值，然后和f（0）函數(shù)f（3）比較大小，最大的作為其最大值，最小的作為其最小值，從而求得f（x）的值域；
（II）對(duì)于任意x₁∈[0，3]，總存在x₂∈[0，3]，使f（x₁）=成立，轉(zhuǎn)化為函數(shù)f（x）的值域是函數(shù)g（x）的值域的子集，下面求解函數(shù)函數(shù)g（x）的值域，求法同（I），列出關(guān)于a的不等式組，即可求得實(shí)數(shù)a的取值范圍．
點(diǎn)評(píng)：考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問(wèn)題，特別問(wèn)題（II）轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問(wèn)題，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的思想方法，在求函數(shù)g（x）的最值過(guò)程中，體現(xiàn)了分類(lèi)討論的思想，屬難題．