Question

已知函數(shù)f（x）=alnx+

1

x

（a＞0）
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值．
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)f（x）在[1，e]上的最小值為0？若存在，求出a的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可得函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間和極值；
（2）求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)大于0解出x的范圍，然后對a分三種情況討論，利用f（x）在[1，e]上的最小值為0，求a的值．

解答： 解：由題意知x＞0，f′（x）=

a

x

-

1

x2

（a＞0）．（1分）
（1）由f′（x）＞0得

a

x

-

1

x2

＞0，解得x＞

1

a

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（

1

a

，+∞）；
由f′（x）＜0得

a

x

-

1

x2

＜0，解得x＜

1

a

，
所以函數(shù)f（x）的單調(diào)減區(qū)間是（0，

1

a

）．
所以當(dāng)x=

1

a

時，函數(shù)f（x）有極小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a．（6分）
（2）由（1）可知，當(dāng)x∈（0，

1

a

）時，f（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（

1

a

，+∞）時，f（x）單調(diào)遞增，
①若0＜

1

a

＜1，即a＞1時，函數(shù)f（x）在[1，e]上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的最小值為f（1）=aln 1+1=1，顯然1≠0，故不滿足條件．（9分）
②若1≤

1

a

≤e，即

1

e

≤a≤1時，函數(shù)f（x）在[1，

1

a

）上為減函數(shù)，在[

1

a

，e]上為增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的最小值為f（

1

a

）=aln

1

a

+a=a-aln a=a（1-ln a）=0，即ln a=1，解得a=e，
而

1

e

≤a≤1，故不滿足條件．（11分）
③若

1

a

＞e，即0＜a＜

1

e

時，函數(shù)f（x）在[1，e]上為減函數(shù)，
故函數(shù)f（x）的最小值為f（e）=aln e+

1

e

=a+

1

e

=0．
即a=-

1

e

，而0＜a＜

1

e

，故不滿足條件．
綜上所述，這樣的a不存在．（12分）

點(diǎn)評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，解答的關(guān)鍵是對a的范圍正確分段，此題是有一定難度題目．