Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為2

3

，離心率e=

6

3

．
（I）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（Ⅱ）設(shè)橢圓C與直線y=kx+m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，點(diǎn)D（0，-1），當(dāng)|DM|=|DN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）設(shè)出橢圓的方程，依據(jù)橢圓的離心率求得a和c的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)長(zhǎng)軸的長(zhǎng)和a，b和c的關(guān)系求得a和b，則橢圓的方程可得．
（Ⅱ）把直線方程與橢圓方程聯(lián)立，根據(jù)直線與橢圓有兩不同交點(diǎn)判斷出判別式大于0求得m和k的不等式關(guān)系，先看當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（x_P，y_P），可分別表示出x_P和y_P，則直線的斜率可知，通過|DM|=|DN|判斷出DP⊥DM，利用斜率之積為-1求得k和m的關(guān)系式，代入k和m的不等式關(guān)系中求得m的范圍；再看當(dāng)k=0時(shí)，直接利用k和m的不等式關(guān)系求得m的范圍，最后取并集答案可得．

解答：解：橢圓C的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
由已知得

c a = 6 3 2a=2 3 a2=b2+c2

，
解得a=

3

，b=1，c=

2

∴所求橢圓C的方程為

x2

3

+y2=1

（II）由

y=kx+m x2 3 +y2=1

得（3k²+1）x²+6mkx+3（m²-1）=0，
由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，∴△＞0，即m²＜3k²+1①
（1）當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P（x_P，y_P），x_M，x_N分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，
則x_P=

xM+xN

2

=-

3mk

3k2+1

，從而y_P=kx_P+m=

m

3k2+1

，k_DP=

yP+1

xP

=-

m+3k2+1

3mk

又|DM|=|DN|，∴DP⊥MN，則-

m+3k2+1

3mk

=-

1

k

，即2m=3k²+1，②
將②代入①得2m＞m2，解得0＜m＜2，由②得k2=

2m-1

3

＞0，解得m＞

1

2

，故所求的m取值范圍是（

1

2

，2）
（2）當(dāng)k=0時(shí)，|DM|=|DN|，∴DP⊥MN，則m²＜3k²+1，解得，-1＜m＜1，
綜上所述，m的取值范圍是（-1，2）．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與圓錐曲線的位置關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問題和解決問題的能力．