精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，已知BC=a，若長為2a的線段PQ以點A為中點，問
PQ
與
BC
的夾角θ取何值時
BP
•
CQ
的值最大？并求出這個最大值．
分析：要求
PQ
與
BC
的夾角θ取何值時
BP
•
CQ
的值最大，我們有兩種思路：
法一：是將向量
PQ
與
BC
根據(jù)向量加減法的三角形法則，進行分析，分解成用向量
AP
、
AQ
、
AC
、
AB
表示的形式，然后根據(jù)|
AP
|=|
AQ
|=a，
AC
⊥
AB
即
AC
•
AB
=0，構(gòu)造一個關(guān)于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出
BP
•
CQ
的最大值；
法二：是以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．求出各頂點的坐標后，進而給出向量
BP
與
CQ
的坐標，然后利用平面向量的數(shù)量值運算公式，構(gòu)造一個關(guān)于cosθ的式子，然后根據(jù)cosθ的取值范圍，分析出
BP
•
CQ
的最大值．
解答：精英家教網(wǎng)解：如下圖所示：
解法一：∵
AB
⊥
AC
，∴
AB
•
AC
=0．
∵
AP
=-
AQ
，
BP
=
AP
-
AB
，
CQ
=
AQ
-
AC
，
∴
BP
•
CQ
=(
AP
-
AB
)•(
AQ
-
AC
)
=
AP
•
AQ
-
AP
•
AC
-
AB
•
AQ
+
AB
•
AC

=-a2-
AP
•
AC
+
AB
•
AP

=-a2+
1
2
PQ
•
BC

=-a2+a2cosθ．
故當cosθ=1，即θ=0（
PQ
與
BC
方向相同）時，
BP
•
CQ
最大．其最大值為0．
解法二：以直角頂點A為坐標原點，兩直角邊所在直線為坐標軸建立如圖所示的平面直角坐標系．
精英家教網(wǎng)設|AB|=c|AC|=b，則A（0，0），B（c，0），C（0，b），
且|PQ|=2a，|BC|=a．
設點P的坐標為（x，y），則Q（-x，-y）．
∴
BP
=(x-c，y)，
CQ
=(-x，-y-b)，
BC
=(-c，b)，
PQ
=(-2x，-2y)．
∴
BP
•
CQ
=(x-c)(-x)+y(-y-b)
=-（x2+y2）+cx-by．
∵cosθ=
PQ
•
BC
|
PQ
|•|
BC
|
=
cx-by
a2
．
∴cx-by=a2cosθ．
∴
BP
•
CQ
=-a2+a2cosθ．
故當cosθ=1，
即θ=0（
PQ
與
BC
方向相同）時，
BC
•
CQ
最大，其最大值為0．
點評：本小題主要考查向量的概念，平面向量的運算法則，考查運用向量及函數(shù)知識的能力．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，D為BC上一點，∠DAC=30°，BD=2，AB=2
3
，則AC的長為（　�。�
A、2
2
B、3
C、
3
D、
3
2
3

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC為直徑的⊙O與AB邊交于點D，過點D作⊙O的切線，交BC于點E．
（1）求證：點E是邊BC的中點；
（2）若EC=3，BD=2
6
，求⊙O的直徑AC的長度．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC=2，AE⊥平面ABC，CD⊥平面ABC，CE交AD于點P．
（1）若AE=CD，點M為BC的中點，求證：直線MP∥平面EAB
（2）若AE=2，CD=1，求銳二面角E-BC-A的平面角的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

8．如圖，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AB=2，AC=
2
2
．DO⊥AB于O點，OA=OB，DO=2，曲線E過C點，動點P在E上運動，且保持|PA|+|PB|的值不變．
（1）建立適當?shù)淖鴺讼�，求曲線E的方程；
（2）過D點的直線L與曲線E相交于不同的兩點M、N且M在D、N之間，設
DM
DN
=λ，試確定實數(shù)λ的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，在Rt△ABC中，AC=1，BC=x，D是斜邊AB的中點，將△BCD沿直線CD翻折，若在翻折過程中存在某個位置，使得CB⊥AD，則x的取值范圍是（　�。�
A、（0，
3
]
B、（
2
2
，2]
C、（
3
，2
3
]
D、（2，4]

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