Question

設(shè)函數(shù)f（x）=-x³+3x+2分別在x₁、x₂處取得極小值、極大值．xoy平面上點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為（x₁，f（x₁））、（x₂，f（x₂）），該平面上動(dòng)點(diǎn)P滿足

PA

•

PB

=4，點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)．
（Ⅰ）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；
（Ⅱ）求動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,平面向量數(shù)量積的運(yùn)算,軌跡方程

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（Ⅰ）令f'（x）=-3x²+3=0解得x=-1或x=1，從而得函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，進(jìn)而求出點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；        
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），得(-1-x0，-y0)•(1-x0，4-y.0)=x02-1-4y.0+y02=4，從而得到y(tǒng)²+x²-4x-5=0，即為Q的軌跡方程．

解答： 解：（Ⅰ）令f'（x）=-3x²+3=0解得x=-1或x=1，
當(dāng)x＜-1時(shí)，f'（x）＜0，
當(dāng)-1＜x＜1時(shí)，f'（x）＞0，
當(dāng)x＞1時(shí)，f'（x）＜0
所以，函數(shù)在x=-1處取得極小值，在x=1取得極大值，
故x₁=-1，x₂=1，f（-1）=0，f（1）=4
所以，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為A（-1，0），B（1，4）．                 
（Ⅱ）設(shè)Q（x，y），P（x₀，y₀），
∵

PA

•

PB

=4，
∴(-1-x0，-y0)•(1-x0，4-y.0)=x02-1-4y.0+y02=4，
∴x02+y02-4y0-5=0①，
又∵點(diǎn)Q是點(diǎn)P關(guān)于直線y=x的對稱點(diǎn)，∴

x0=y y0=x

，代入①得：
y²+x²-4x-5=0，即為Q的軌跡方程．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，向量的運(yùn)算，本題屬于中檔題．