Question

如圖，ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，ED⊥平面ABCD，ED=1，EF∥BD且KF=

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BD．
（Ⅰ）求證：BF∥平面ACE；
（Ⅱ）求證：平面AFC⊥平面EFC．

Answer 1

分析：（Ⅰ）記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

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2

BD，連接EO，則可證出四邊形EFBO是平行四邊形，從而BF∥EO，最后結(jié)合線面平行的判定定理，可得BF∥平面ACE；
（II）連接FO，在平行四邊形EFOD中，根據(jù)ED∥FO結(jié)合ED⊥平面ABCD，得FO⊥平面ABCD，所以BD⊥FO，結(jié)合ABCD為正方形，可得BD⊥平面AFC．所以BD的平行線EF⊥平面AFC，最后根據(jù)面面垂直的判定定理，可得平面AFC⊥平面EFC．

解答：解：（Ⅰ）記AC與BD的交點(diǎn)為O，則DO=BO=

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BD，連接EO，（1分）
∵EF∥BD且EF=

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BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFBO是平行四邊形，（2分）
∴BF∥EO，
又∵EO?面ACE，BF?面ACE，
∴BF∥平面ACE； （4分）
（Ⅱ）連接FO，
∵EF∥BD且EF=

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2

BD，
∴EF∥BO且EF=BO，則四邊形EFOD是平行四邊形．（6分）
∴ED∥FO，
∵ED⊥平面ABCD，
∴FO⊥平面ABCD（8分）
又∵BD?平面ABCD
∴BD⊥FO，
∵BD⊥AC，AC∩FO=O，AC、FO?平面AFC
∴BD⊥平面AFC（10分）
∵EF∥BD，∴EF⊥平面AFC，
∵EF?平面AFC，∴平面AFC⊥平面EFC．  （12分）

點(diǎn)評(píng)：本題以一個(gè)特殊多面體為例，要我們證明線面平行和面面垂直，著重考查了線面平行的判定定理和面面垂直的判定理等知識(shí)，屬于中檔題．