Question

已知函數(shù)f（x）在R上是奇函數(shù)，在[a，b]（a＜b）上是減函數(shù)，判斷并利用定義證明f（x）在[-b，-a]上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：奇偶性與單調(diào)性的綜合

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：先任取區(qū)間上滿足-b≤x₁＜x₂≤-a的兩個(gè)實(shí)數(shù)，再根據(jù)函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，且在[a，b]上是減函數(shù)，易判斷函數(shù)f（x）在[-b，-a]上的單調(diào)性．

解答： 解：f（x）在[-b，-a]上單調(diào)遞減，
任取x₁，x₂∈[-b，-a]，且-b≤x₁＜x₂≤-a，
則a≤-x₂＜-x₁≤b，
∵f（x）在[a，b]上是減函數(shù)，∴f（-x₂）＞f（-x₁）
又∵f（x）是奇函數(shù)，
∴f（-x₂）=-f（x₂），f（-x₁）=-f（x₁），
∴f（x₂）＜f（x₁），
即f（x）在[-b，-a]上單調(diào)遞減．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的綜合，利用定義法證明函數(shù)的單調(diào)性是最基本最常用的方法，但對(duì)于抽象函數(shù)單調(diào)性的判斷和證明則要多利用函數(shù)奇偶性圖象對(duì)稱的性質(zhì)進(jìn)行處理．