Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2ax+3在區(qū)間[0，1]上的最大值是g（a），最小值是p（a）．
（1）寫出g（a）和p（a）的解析式．
（2）當函數(shù)f（x）的最大值為3、最小值為2時，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)所給的二次函數(shù)的性質(zhì)，寫出對于對稱軸所在的區(qū)間不同時，對應的函數(shù)的最大值，是一個分段函數(shù)形式，同理寫出函數(shù)的最小值也是一個分段函數(shù)的形式．
（2）當

1

2

≤a≤1時，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，解得a=1；當a＞1時，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍），得到結(jié)果．

解答：解：（1）f（x）=（x-a）²+3-a²．
當a＜

1

2

時，g（a）=f（x）_max=f（1）=4-2a；
當a≥

1

2

時，g（a）=f（x）_max=f（0）=3；
所以g(a)=

4-2a    (a＜ 1 2 ) 3         (a≥ 1 2 )

當a＜0時，p（a）=f（x）_min=f（0）=3；
當0≤a＜1時，p（a）=f（x）_min=3-a²；
當a≥1時，p（a）=f（x）_min=f（1）=4-2a；
所以p(a)=

3       3-a2 4-2a

(a＜0)， ，     (0≤a≤1)， (a＞1)．

（2）當

1

2

≤a≤1時，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=3-a²=2，
解得a=1；
當a＞1時，g（a）=f（x）_max=f（0）=3，p（a）=f（x）_min=4-2a=2，解得a=1（舍）．
當a＜

1

2

時，驗證知不符合題意．
所以a=1就是所求值．

點評：本題看出二次函數(shù)的性質(zhì)，針對于函數(shù)的對稱軸是一個變化的值，需要對對稱軸所在的區(qū)間進行討論，本題是一個綜合題目，是一個易錯題．