Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1=2a_n-1．
（1）求證：數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)

bn= 2n anan+1

，求證：數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和Sn＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義，利用構(gòu)造法即可證明數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列；
（2）求出數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法即可求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n，即可證明不等式．

解答： 解：（1）∵a₁=3，a_n+1=2a_n-1，
∴a_n+1-1=2a_n-2=2（a_n-1），
即

an+1-1

an-1

=2，故數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列．
（2）由（1）知數(shù)列{a_n-1}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為a₁-1=3-1=2，公比q=2，
則a_n-1=2•2^n-1=2ⁿ，則a_n=1+2ⁿ，
則

bn= 2n anan+1

=

2n

(1+2n)(1+2n+1)

=

1+2n+1-(1+2n)

(1+2n)(1+2n+1)

=

1

1+2n

-

1

1+2n+1

，
則數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和S_n=

1

1+2

-

1

1+22

+

1

1+22

-

1

1+23

+…+

1

1+2n

-

1

1+2n+1

=

1

3

-

1

1+2n+1

＜

1

3

，
即Sn＜

1

3

成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的證明，以及數(shù)列求和，利用裂項(xiàng)法是解決本題的關(guān)鍵．要求熟練掌握裂項(xiàng)技巧．