如圖，在三棱柱ABC-A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱長為2，且側棱AA1⊥底面ABC，點D是BC的中點
（1）求證：AD⊥C1D；
（2）求直線AC與平面ADC1所成角的余弦值．
考點：直線與平面所成的角
專題：空間位置關系與距離
分析：（1）由題設條件推導出AD⊥平面BCC1B1，由此能夠AD⊥C1D．
（2）過點C作CO⊥C1D，交C1D于點O．連結AO，∠ACO是直線AC與平面ADC1所成角，由此能求出AC與平面ADC1所成角的余弦值．
解答： 解：（1）∵三棱柱ABC-A1B1C1是正三棱柱，
∴C1C⊥平面ABC，
又∵AD?平面ABC，∴C1C⊥AD，…（2分）
又點D是棱BC的中點，
且△ABC為正三角形，∴AD⊥BC，
∵BC∩C1C=C，∴AD⊥平面BCC1B1，…（4分）
又∵DC1?平面BCC1B1，∴AD⊥C1D．…（6分）
（2）過點C作CO⊥C1D，交C1D于點O．連結AO，
∵AD⊥平面BCC1B1，CO?平面BCC1B1，
∴CO⊥平面ADC1，…（8分）
∴∠ACO是直線AC與平面ADC1所成角，…（9分）
又∵∠COD=∠DCC1=90°，
∠ODC=∠ODC，
∴△ODC∽△DCC1．…（10分）
∵底面ABC是邊長為2的正三角形，側棱長為2，
且側棱AA1⊥底面ABC，點D是BC的中點
∴DC=1，CC1=2，DC1=
1+4
=
5
，
∵
OC
CC1
=
DC
DC1
，
∴OC=
DC•CC1
DC1
=
1×2
5
=
2
5
5
．
∴cos∠ACO=
OC
AC
=
2
5
5
2
=
5
5
．…（12分）
點評：本題考查直線與直線垂直，直線與平面平行，考查空間想象能力，計算能力．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

三角形ABC中，AB=4
3
，AC=2
3
，AD是BC上的中線，角BAD=30°，求BC的長．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是直角梯形，AD垂直于AB和DC，側棱SA⊥底面ABCD，且SA=2，AD=DC=1．
（1）若點E在SD上，且AE⊥SD，證明：AE⊥平面SDC；
（2）若三棱錐S-ABC的體積VS-ABC=
1
6
，求面SAD與面SBC所成二面角的正弦值大小．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=2BC=2BB1，沿平面C1BD把這個長方體截成兩個幾何體：
（Ⅰ）設幾何體（1）、幾何體（2）的體積分為是V1、V2，求V1與V2的比值；
（Ⅱ）在幾何體（2）中，求二面角P-QR-C的正切值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
1
2
AB=1，M為PB中點．
（1）證明：AB⊥CM；
（2）求AC與PB所成的角的余弦值；
（3）求二面角A-MC-B的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，AD、BE是△ABC的高，DF⊥AB于F，DF交BE于G，F(xiàn)D的延長線交AC的延長線于H，求證：DF2=FG•FH．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知不等式ax2+（a-1）x+a-1＜0對于所有的實數(shù)x都成立，求a的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

如圖，已知A，B，C為不在同一直線上的三點，且AA1∥BB1∥CC1，AA1=BB1=CC1．
（1）求證：平面ABC∥平面A1B1C1；
（2）若AA1⊥平面ABC，且AC=AA1=4，BC=3，AB=5，求證：A1C丄平面AB1C1
（3）在（2）的條件下，求二面角C1-AB1-C的余弦值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

在0、1、2、3、5中任取4個數(shù)組成沒重復的四位數(shù)，且使該四位數(shù)能被剩下的數(shù)除盡，這樣的數(shù)共有
 
．

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