Question

已知圓O：x²+y²=4，點(diǎn)P為直線l：x=4上的動(dòng)點(diǎn)，
(1)若從P到圓O的切線長(zhǎng)為2，求P的坐標(biāo)以及兩條切線所夾劣弧長(zhǎng)；
(2)若點(diǎn)A(-2，0)，B(2，0)，直線PA、PB與圓O的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M、N，求證：直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(1，0)。

Answer 1

解：根據(jù)題意，設(shè)P(4，t)，
(1)設(shè)兩切點(diǎn)為C、D，則OC⊥PC，OD⊥PD，
由題意可知，，
即，解得t=0，
所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(4，0)，
在Rt△POC中，易得∠POC=60°，所以∠DOC=120°，
所以兩切線所夾劣弧長(zhǎng)為；
(2)設(shè)M(x₁，y₁)、N(x₂，y₂)，Q(1，0)，
依題意，直線PA經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2，0)，P(4，t)，
可以設(shè)直線AP的方程為和圓聯(lián)立，得到，
代入消元得到，，
因?yàn)橹本�AP經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-2，0)、M(x₁，y₁)，所以-2、x₁是方程的兩個(gè)根，
所以有，
代入直線方程，得，
同理，設(shè)直線BP的方程為，聯(lián)立方程有，
代入消元得到，
因?yàn)橹本�BP經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(2，0)、N(x₂，y₂)，所以2、x₂是方程的兩個(gè)根，
所以有，
代入得到，
若，則，此時(shí)，，
顯然M、Q、N三點(diǎn)在直線x=1上，即直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(1，0)；
若x₁≠1，則t²≠12，x₂≠1，所以有
，
所以，所以M、N、Q三點(diǎn)共線，
即直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(1，0)；
綜上所述，直線MN經(jīng)過(guò)定點(diǎn)Q(1，0)。