Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a-
（1）求證：f（x）是增函數(shù)；
（2）求a的值，使f（x）為奇函數(shù)；
（3）當(dāng)f（x）為奇函數(shù)時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

（1）證明：任取x₁，x₂∈R，且x_1＜x₂
f（x₁）-f（x₂）=a--a+=（2分）
∵y=2^x在（-∞，+∞）上遞增，而x₁＜x₂∴＜∴-＜0（4分）
又（+1）（+1）＞0∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂）
∴f（x）在（-∞，+∞）上是增函數(shù)（6分）

（2）解：f（x）為奇函數(shù)，f（0）=a-=a-1=0∴a=1
經(jīng)檢驗(yàn)，a=1時(shí)f（x）是奇函數(shù)（10分）
（3）由（2）知，f（x）=1-
∵2^x+1＞1∴0＜＜1∴f（x）∈（-1，1）（14分）
分析：（1）單調(diào)性的證明，要設(shè)出單調(diào)區(qū)間上的自變量x_1＜x₂，作差f（x₁）-f（x₂）在進(jìn)行化簡(jiǎn)，分解成因式的積或商的形式，來(lái)判斷符號(hào)，
（2）要充分利用函數(shù)的奇偶性的概念，對(duì)于奇函數(shù)有一個(gè)結(jié)論：奇函數(shù)在x=0處有定義，則有f（0）=0，本題可以充分利用這一點(diǎn)來(lái)求參數(shù)a的值．
（3）可有（2）的結(jié)論求出f（x）的解析式后，求函數(shù)的值域．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性的概念及其判斷、證明，函數(shù)的值域的求法．對(duì)于利用定義來(lái)證明函數(shù)的單調(diào)性要注意做差后對(duì)式子f（x₁）-f（x₂）的化簡(jiǎn)，利用符號(hào)法則來(lái)判斷其符號(hào)．