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設點P在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直線l的方程為x=-
a2
c
，且點F的坐標為（-c，0），作PQ⊥l于點Q，若P，F，Q三點構成一個等腰直角三角形，則橢圓的離心率e=______．
設P（x0，y0 ），由題意可得 QF=FP=a+
c
a
x0，且 PQ=
2
 PF，
∴
2
 （a+
c
a
x0 ）=x0+
a2
c
，解得 x0=
2
a2c-a3
ac-
2
c2
，∴|y0|=-c+
a2
c
=
b2
c
，
把P（x0，y0 ） 代入橢圓的方程可得 
(
2
a2c-a3
ac-
2
c2
)
a2
2+
(
b2
c
)2
b2
=1，解得
c2
a2
=
1
2
，
∴e=
c
a
=
2
2
，
故答案為
2
2
．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數學 來源： 題型：

設點P在橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）上，直線l的方程為x=-
a2
c
，且點F的坐標為（-c，0），作PQ⊥l于點Q，若P，F，Q三點構成一個等腰直角三角形，則橢圓的離心率e=
 
．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個頂點．
（1）若點M滿足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求點M的坐標；
（2）設直線l1：y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點；
（3）設點P在橢圓Γ內且不在x軸上，如何構作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1），若橢圓Γ上的點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求點P1、P2的坐標．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知圓Mx2+y2-2tx-6t-10=0，橢圓C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0），若橢圓C與x軸的交點A（5，y0）到其右準線的距離為
10
3
；點A在圓M外，且圓M上的點和點A的最大距離與最小距離之差為2．
（1）求圓M的方程和橢圓C的方程；
（2）設點P為橢圓C上任意一點，自點P向圓M引切線，切點分別為A、B，請試著去求
P
A•
P
B的取值范圍；
（3）設直線系M：xcosθ+（y-3）sinθ=1（θ∈R）；求證：直線系M中的任意一條直線l恒與定圓相切，并直接寫出三邊都在直線系M中的直線上的所有可能的等腰直角三角形的面積．

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科目：高中數學 來源：上海 題型：解答題

已知橢圓Γ的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)，A（0，b）、B（0，-b）和Q（a，0）為Γ的三個頂點．
（1）若點M滿足
AM
=
1
2
(
AQ
+
AB
)，求點M的坐標；
（2）設直線l1：y=k1x+p交橢圓Γ于C、D兩點，交直線l2：y=k2x于點E．若k1•k2=-
b2
a2
，證明：E為CD的中點；
（3）設點P在橢圓Γ內且不在x軸上，如何構作過PQ中點F的直線l，使得l與橢圓Γ的兩個交點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
PP1
+
PP2
=
PQ
？令a=10，b=5，點P的坐標是（-8，-1），若橢圓Γ上的點P1、P2滿足
PP1
+
PP2
=
PQ
，求點P1、P2的坐標．

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