Question

已知奇函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集，且f（x）在[0，+∞）上是增函數(shù)，當時，是否存在這樣的實數(shù)m，使f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）對所有的均成立？若存在，求出所有適合條件的實數(shù)m；若不存在，說明理由．

Answer 1

解：由題意，函數(shù)f（x）的定義域為實數(shù)集
∴f（x）在（-∞，+∞）上連續(xù)
∵函數(shù)f（x）為奇函數(shù)，在[0，+∞）上是增函數(shù)，
故f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)
由f（0）=-f（-0），得f（0）=0
f（4m-2mcosθ）-f（2sin²θ+2）＞f（0）=0
移向變形得f（4m-2mcosθ）＞f（2sin²θ+2）
∴由f（x）（-∞，+∞）上連續(xù)且為增函數(shù)，得
4m-2mcosθ＞2sin²θ+2
∴2cos²θ-4-2mcosθ+4m＞0
cos²θ-mcosθ+（2m-2）＞0
根據(jù)題意，時，0≤cosθ≤1
令t=cosθ∈[0，1]
則問題等價于t∈[0，1]時，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍
令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向上，對稱軸t=，
分類討論：
①當此拋物線對稱軸t=在區(qū)間[0，1]內(nèi)時，m∈[0，2]，
函數(shù)最小值（2m-2）-＞0即可，此時m²-8m+8＜0，
∴4-2＜m≤2
②當對稱軸在（-∞，0）時，m＜0，
只要f（0）＞0即可，此時2m-2＞0，推出m＞1，與m＜0矛盾，此情況不成立，舍去
③當對稱軸在（1，+∞）時，m＞2，
只要f（1）＞0即可，此時1-m+2m-2=m-1＞0，推出m＞1，
∴m＞2
綜上所述，m的取值范圍是（4-2，+∞）
分析：由題意，f（x）在（-∞，+∞）上為增函數(shù)，f（0）=0，從而條件可變?yōu)?m-2mcosθ＞2sin²θ+2．根據(jù)題意，時，0≤cosθ≤1，令t=cosθ∈[0，1]，則問題等價于t∈[0，1]時，t²-mt+（2m-2）＞0恒成立，求m的取值范圍．令f（t）=t²-mt+（2m-2），此函數(shù)對應(yīng)的拋物線開口向上，對稱軸t=，進行分類討論：①當此拋物線對稱軸t=在區(qū)間[0，1]內(nèi)時，m∈[0，2]，函數(shù)最小值（2m-2）-＞0即可；②當對稱軸在（-∞，0）時，m＜0，只要f（0）＞0即可；③當對稱軸在（1，+∞）時，m＞2，只要f（1）＞0即可，由此可求出m的取值范圍
點評：本題將函數(shù)的奇偶性與函數(shù)的單調(diào)性融合一起，綜合考查函數(shù)的性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，解題時，合理轉(zhuǎn)化，正確分類是關(guān)鍵．