Question

在某次抽獎活動中，一個口袋里裝有5個白球和5個黑球，所有球除顏色外無任何不同，每次從中摸出2個球，觀察顏色后放回，若為同色，則中獎．
（Ⅰ）求僅一次摸球中獎的概率；
（Ⅱ）記連續(xù)3次摸球中獎的次數為ξ，求ξ的分布列．

Answer 1

分析：（1）從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球有C₁₀²種方法，而摸出的球是同色的事件數是C₂¹C₅²，由古典概型公式，代入數據得到結果，注意運算要正確，因為第二問要用本問的結果．
（2）連續(xù)3次摸球中獎的次數為ξ，由題意知ξ的取值是0、1、2、3，本題是一個獨立重復試驗，根據上面的結果，代入公式得到結果，寫出分布列．

解答：解：（Ⅰ）由題意知本題是一個古典概型，
∵從裝有10只球的口袋中每次從中摸出2個球有C₁₀²，
摸出的球是同色的事件數是C₂¹C₅²，
設僅一次摸球中獎的概率為P₁，
由古典概型公式，
∴P₁=

2 C 2 5

C 2 10

=

4

9

．

（Ⅱ）由題意知ξ的取值可以是0，1，2，3
P（ξ=0）=（1-P₁）³=

125

729

，
P（ξ=1）=C₃¹（1-P₁）²P₁=

300

729

=

100

243

，
P（ξ=2）=C₃²（1-P₁）P₁²═

240

729

=

80

243

，
P（ξ=3）=P₁³=

64

729

．
∴ξ的分布列如下表

點評：求離散型隨機變量期望的步驟：①確定離散型隨機變量 的取值．②寫出分布列，并檢查分布列的正確與否，即看一下所有概率的和是否為1．③求出期望．