Question

證明正三棱柱的兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為：1．

Answer 1

證明：如圖，以正三棱柱的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，棱OC、OB為y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正三棱柱底面邊長與棱長分別為2a、b，則A（a，a，b）、B（0，0，b）、C（0，2a，0）．因?yàn)楫惷鎸�角線OA⊥BC?•=0?（a，a，b）•（0，2a，-b）=2a²-b²=0?b=a，即2a：b=：1，所以O(shè)A⊥BC的充要條件是它的底面邊長與側(cè)棱長的比為：1．
分析：因?yàn)檎�三棱柱，所以底面是正三角形，根�?jù)兩個側(cè)面的異面對角線互相垂直即可求得．
點(diǎn)評：此題考查學(xué)生運(yùn)用空間向量解決立體幾何的能力．考查學(xué)生的空間想象能力和計算能力．