Question

已知函數(shù)f（x）=e^x-k-x，（x∈R）
（1）當(dāng)k=0時，若函數(shù)g（x）=lg[f（x）+m]的定義域是R，求實數(shù)m的取值范圍；
（2）當(dāng)k＞1時，討論函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，2k）內(nèi)的零點個數(shù)；
（3）若方程f（x）=x²+1在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)有三個不等實根，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

考點：根的存在性及根的個數(shù)判斷,函數(shù)的定義域及其求法

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)定義域為R，轉(zhuǎn)化成研究 m＞x-e^x 恒成立，解出m即可．
（2）先研究函數(shù)在（k，2k）上的單調(diào)性，然后求f（k）與f（2k）并判定函數(shù)值的符號，根據(jù)零點存在性定理可得結(jié)論；
（3）由方程f（x）=x²+1在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)有三個不等實根，可得

1+1＞e-1-k+1 e- 1 2 -k+ 1 2 ＞ 1 4 +1

，即可求實數(shù)k的取值范圍．

解答： 解：（1）由題意可得函數(shù)f（x）=e^x -x，且f（x）+m＞0恒成立，
即 m＞x-e^x 恒成立．
令g（x）=x-e^x，則 g′（x）=1-e^x，在（0，+∞）上，g′（x）＜0，g（x）為減函數(shù)；
在（-∞，0）上，g′（x）＞0，g（x）為增函數(shù)，
故g（x）的最大值為g（0）=-1，故有m＞-1，即實數(shù)m的取值范圍（-1，+∞）．
（2）由函數(shù)f（x）=e^x-k-x，k＞0，可得f′（x）=e^x-k-1，
在（0，k）上，f′（x）＜0，f（x）是減函數(shù)；在（k，+∞）上，f′（x）＞0，f（x）是增函數(shù)，
故函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，2k）上是增函數(shù)．
再根據(jù)f（k）=e^k-k-k=1-k＜0，
f（2k）=e^2k-k-2k=e^k-2k，
∵f′（2k）=e^k-2＞0，f（x）在k＞1時單調(diào)增，
∴f（2k）＞e-2＞0
∴由零點存在定理知，函數(shù)f（x）在（k，2k）內(nèi)存在零點；
（3）∵方程f（x）=x²+1在區(qū)間（-1，+∞）內(nèi)有三個不等實根，
∴

1+1＞e-1-k+1 e- 1 2 -k+ 1 2 ＞ 1 4 +1

，∴-1＜k＜-

1

2

-ln

3

4

．

點評：本題主要考查了函數(shù)的零點的問題，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性問題，屬于難題．