Question

已知函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

．
（Ⅰ）求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、值域、零點；
（Ⅱ）不計算函數(shù)值，比較f（-

1

4

）與f（-

15

4

）大��；
（Ⅲ）寫出使f（x）＜0的x集合．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì),一元二次不等式的解法

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應用

分析：（Ⅰ）關鍵二次函數(shù)的性質(zhì)求解得出：函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-3），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（-3，+∞），再根據(jù)解析式得出值域為（-∞，2）．
（Ⅱ）根據(jù)函數(shù)的對稱性得出f（-

1

4

）＜f（-

15

4

）
（Ⅲ）轉(zhuǎn)化為不等式x²+6x+5＞0，求解．

解答： 解：∵函數(shù)f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

．∴對稱軸x=-3，
（Ⅰ）函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間（-∞，-3），函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間（-3，+∞），
∵f（-3）=2，值域為（-∞，2），
∵f（x）=-

1

2

x²-3x-

5

2

=0，
x=-1，x=-5
∴零點-1，-5．
（Ⅱ）∵|-

1

4

+3|=

11

4

，|-

15

4

+3|=

3

4

，

11

4

＞

3

4

，
∴f（-

1

4

）＜f（-

15

4

）
（Ⅲ））∵-

1

2

x²-3x-

5

2

＜0，
∴x²+6x+5＞0，
即x＞-1或x＜-5，
∴f（x）＜0的x集合為：{x|x＞-1或x＜-5}．

點評：本題考查了二次函數(shù)的概念，性質(zhì)，運用求解單調(diào)區(qū)間，零點，不等式的解集，屬于中檔題．