Question

已知點O為△ABC的外心，角A，B，C的對邊分別滿足a，b，c，
（I）若3+4+5=，求cos∠BOC的值；
（II）若•=•，求的值．

Answer 1

【答案】分析：（I）設(shè)三角形ABC的外接圓半徑為R，將已知的等式變形后，左右兩邊平方，由O為三角形的外心，得到||=||=||=R，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則計算，可得出cos∠BOC的值；
（II）將已知的等式左右兩邊利用平面向量的減法法則計算，再利用平面向量的數(shù)量積運算法則變形，整理后利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用正弦定理變形后，整理可得出所求式子的值．
解答：解：（Ⅰ） 設(shè)外接圓半徑為R，由3+4+5=得：4+5=-3，
平方得：16R²+40•+25R²=9R²，即•=-R²，
則cos∠BOC=-；                    
（Ⅱ）∵=，
∴=，
即：=，
可得：-R²cos2A+R²cos2B=-R²cos2C+R²cos2A，
∴2cos2A=cos2C+cos2B，
即：2（1-2sin²A）=2-（2sin²B+2sin²C），
∴2sin²A=sin²B+sin²C，
∴利用正弦定理變形得：2a²=b²+c²，
∴=2．
點評：此題考查了平面向量的數(shù)量積運算法則，二倍角的余弦函數(shù)公式，正弦定理，以及向量在幾何中的運用，熟練掌握平面向量的數(shù)量積運算法則是解本題的關(guān)鍵．