Question

設函數f（x）=x³-6x+5，x∈R
（1）求f（x）的單調區(qū)間和極值；
（2）若直線y=a與y=f（x）的圖象有三個不同的交點，求實數a的取值范圍．

Answer 1

考點：函數在某點取得極值的條件,根的存在性及根的個數判斷

專題：綜合題,導數的概念及應用

分析：（1）求導數，令f′（x）=0可得極值點，解不等式f′（x）＞0，f′（x）＜0可得單調區(qū)間；根據導數符號變化情況可判斷極值并可求解；
（2）由（1）作出函數的草圖，由圖象可得a的范圍．

解答： 解：（1）f′(x)=3(x2-2)，令f′(x)=0，得x1=-

2

，x2=

2

∴當x＜-

2

或x＞

2

時，f′(x)＞0；當-

2

＜x＜

2

時，f′(x)＜0，
∴f（x）的單調遞增區(qū)間是(-∞，-

2

)和(

2

，+∞)，單調遞減區(qū)間是(-

2

，

2

)
當x=-

2

，f(x)有極大值5+4

2

；當x=

2

，f(x)有極小值5-4

2

．
（2）由（1）可知y=f（x）圖象的大致形狀及走向

∴當5-4

2

＜a＜5+4

2

時，直線y=a與y=f(x)的圖象有3個不同交點

點評：本題考查了函數的單調性及根的存在性及根的個數判斷．利用導數判斷函數的單調性的步驟是：（1）確定函數的定義域；（2）求導數fˊ（x）；（3）在函數的定義域內解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）確定函數的單調區(qū)間．若在函數式中含字母系數，往往要分類討論．