Question

已知函數，函數g(x)的導函數，且

（1）求的極值；

（2）若，使得成立，試求實數m的取值范圍：

（3）當a=0時，對于，求證：

 

Answer 1

（1）當a≥0時, 沒有極值；當a＜0時，取得極大值=;（2）；（3）見解析.

【解析】

試題分析：（1）求函數定義域、導數，按照a≥0，a＜0兩種情況討論的符號變化，由極值定義可求得的極值；（2）先由條件求出，存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．令=，x∈（0，+∞），則問題等價于m＜，利用基本不等式可判定導數研究的正負時，從而判定出函數的單調性，從而可求得；（3）當a=0時，先將具體化為，令==，利用導數通過研究的單調性、極值，從而得出函數的圖像性質，求出的最小值，只要證明最小值大于零即證明了.

試題解析： （1）函數的定義域為（0，+∞），=（＞0）．

（i）當a≥0時，＞0，

函數在（0，+∞）上單調遞增，故沒有極值；

（ii）當a＜0時，==，

當x∈（0，﹣）時，＞0；當x∈（﹣，+∞）時，＜0，

∴當x=﹣時，取得極大值=．

（2）∵函數的導函數=，

∴=+c（其中c為常數）

由，得(1+c)e=e，故c=0，

∴=．

若存在x∈（0，+∞），使得＜成立，即m＜成立．

令=，x∈（0，+∞），則問題等價于m＜，

∴=1﹣，

∵當x∈（0，+∞）時，＞1，≥=，

∴＞1，故＜0，

∴在（0，+∞）上單調遞減，

∴＜=3，故m＜3．

（3）解：當a=0時，=lnx，

令=﹣﹣2=﹣lnx﹣2，

=，而=＞0在（0，+∞）上恒成立，

∴在（0，+∞）上單調遞增．

設=0的根為x=t，則，即t=．

當x∈(0，t）時，＜0，則在（0，t）上單調遞減；

當x∈（t，+∞）時，＞0，則在（t，+∞）上單調遞增．

故min====．

由=e﹣1＞0，=﹣2＜0，得t∈，

∵=在（，1）上單調遞增，

∴min=＞=+﹣2＞﹣2=0．

∴﹣＞2．

考點： 導數在最大值、最小值問題中的應用；利用導數研究函數的極值