如圖，直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面是等腰直角三角形，AB＝BC＝，BB1＝3，D為A1C1的中點，F在線段AA1上．

(1)AF為何值時，CF⊥平面B1DF？

(2)設(shè)AF＝1，求平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值．

答案：
解析：

　　解：(1)因為直三棱柱ABC－A1B1C1中，以B點為原點，BA、BC、BB1分別為x、y、z軸建立如圖所示空間直角坐標系.

　　因為AC＝2，∠ABC＝90o，所以AB＝BC＝，

　　從而B(0，0，0)，A，C，B1(0，0，3)，A1，C1，D，E．

　　所以，

　　設(shè)AF＝x，則F(，0，x)，

　　.

　　，所以

　　要使CF⊥平面B1DF，只需CF⊥B1F.

　　由＝2＋x(x－3)＝0，得x＝1或x＝2，

　　故當(dāng)AF＝1或2時，CF⊥平面B1DF　　5分

　　(2)由(1)知平面ABC的法向量為n1＝(0，0，1)．

　　設(shè)平面B1CF的法向量為，則由得

　　令z＝1得，

　　所以平面B1CF與平面ABC所成的銳二面角的余弦值　　10分


練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AC=1，CB=
2
，側(cè)棱AA1=1，側(cè)面AA1B1B的兩條對角線交于點D，B1C1的中點為M，求證：CD⊥平面BDM．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是以∠ABC為直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D為A1C1的中點，E為B1C的中點．
（1）求直線BE與A1C所成的角；
（2）在線段AA1中上是否存在點F，使CF⊥平面B1DF，若存在，求出|
AF
|；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖在直三棱柱ABC-A1B1C1中∠ACB=90°，AA1=2，AC=BC=1，則異面直線A1B與AC所成角的余弦值是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=CC1=2，M，N分別為AC，B1C1的中點．
（Ⅰ）求線段MN的長；
（Ⅱ）求證：MN∥平面ABB1A1；
（Ⅲ）線段CC1上是否存在點Q，使A1B⊥平面MNQ？說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=a，AA1=2a，D棱B1B的中點．
（Ⅰ）證明：A1C1∥平面ACD；
（Ⅱ）求異面直線AC與A1D所成角的大小；
（Ⅲ）證明：直線A1D⊥平面ADC．

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